Question

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD=，E為對角線AC上的一點（不與A，C重合），將射線EB繞點E順時針旋轉角之后，所得射線與直線AD交于F點．試探究線段EB與EF的數量關系．

小宇發現點E的位置，和的大小都不確定，于是他從特殊情況開始進行探究．

（1）如圖1，當==90°時，菱形ABCD是正方形．小宇發現，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分線的性質可知EM=EN，進而可得，并由全等三角形的性質得到EB與EF的數量關系為 ．

（2）如圖2，當=60°，=120°時，

①依題意補全圖形；

②請幫小宇繼續探究（1）的結論是否成立．若成立，請給出證明；若不成立，請舉出反例說明；

（3）小宇在利用特殊圖形得到了一些結論之后，在此基礎上對一般的圖形進行了探究，設∠ABE=，若旋轉后所得的線段EF與EB的數量關系滿足（1）中的結論，請直接寫出角,，滿足的關系： ．

Answer 1

【答案】（1）EB=EF；（2）①補全圖形見解析；②結論依然成立EB=EF．證明見解析； （3）°（當B的對稱點不為D時）或°（當B的對稱點為D時）

【解析】

(1)先證明ANEM是正方形，再證明，即可證得結果；

(2)①補全圖形如圖所示；

②證法1，用角平分線性質得出EM=EN,再證明出，即可；

證法2，利用菱形的性質直接出△ADE≌△ABE．即可得出結論；

(3)直接得出結論。

（1）EB=EF；

（2）①補全圖形如圖所示；

②結論依然成立EB=EF．

證法1：過點E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴．

∵EM⊥AF，EN⊥AB．

∴°，EM=EN．

∵°，°，

∴°°．

∵°，

∴．

在△EFM與△EBN中，

∴△EFM ≌△EBN．

∴EF=EB．

證法2：連接ED

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠DAC=∠BAE．

又∵AE=AE,

∴△ADE≌△ABE．

∴ED=EB，∠ADE=∠ABE．

又∵∠DAB=60°，∠BEF=120°．

∴∠F+∠ABE=180°．

又∵∠ADE+∠FDE=180°，

∴∠F=∠FDE．

∴EF=ED．

∴EF=EB．

（3）°（當B的對稱點不為D時）或°（當B的對稱點為D時）.