Question

【題目】邊長為整數的直角三角形，若其兩直角邊邊長是方程x2-(k+2)x+4k=0的兩根，求k的值，并確定直角三角形三邊之長。

Answer 1

【答案】解：設直角邊為a，b（a<b），則a+b=k+2，ab=4k，因為方程的根為整數，故△=（k+2）2-16k為完全平方數。
設(k+2)2-16k=n2 ∴k2-12k+4=n2 ∴(k-6)2-n2=32
∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8
∵k+n-6>k-n-6 ∴
解得 ，k2=15,k3=12
當k2=15時，a+b=17,ab=60 ∴a=15 ， b=12 ， c=13；當k=12時，a+b=14,ab=48
∴a=6 ， b=8 ，c=10
【解析】根據方程的根為整數，得到根的判別式為平方數，然后進行討論求出k值，得到三角形三邊的長．根據直角三角形的直角邊是整數，得到方程的根是整數，所以判別式是平方數，討論求出k的值．然后求出直角三角形三邊的長．
【考點精析】利用公式法和求根公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知要用公式解方程，首先化成一般式．調整系數隨其后，使其成為最簡比．確定參數abc，計算方程判別式．判別式值與零比，有無實根便得知．有實根可套公式，沒有實根要告之；根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根．