Question

【題目】平行四邊形ABCD兩鄰邊的長m，n是關于x的方程的兩個實數根．

（1）求k的取值范圍．

（2）當k為何值時，四邊形ABCD的兩條對角線的長相等，且都等于，求出這時四邊形ABCD的周長和面積．

Answer 1

【答案】（1）k的取值范圍是k＞；（2）四邊形ABCD的周長是4，面積是．

【解析】

（1）根據題意求出△=b2-4ac=（-k）2-4×1×（）≥0，m+n=k＞0，mn=＞0，求出不等式組的解集即可；

（2）得出四邊形是矩形，根據勾股定理和根與系數的關系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周長和面積．

（1）∵平行四邊形ABCD的兩鄰邊的長m，n是關于x的方程x2kx+＝0的兩個實數根，

∴△=b2-4ac=（-k）2-4×1×（）≥0，m+n=k＞0，mn=＞0，

（k-1）2≥0，k＞0，k＞，

即k的取值范圍是k＞；

（2）∵四邊形是平行四邊形，且四邊形的對角線相等，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

由勾股定理得：m2+n2=（）2，

即（m+n）2-2mn=，

∵m+n=k，mn=，

∴k2-2（）=，

k1=2，k2=-1（因為由（1）得出k＞，所以此時的值舍去），

把k=2代入方程得：x2-2x+=0，

解方程得：m=，n=或n=，m=，

∴矩形ABCD的周長是2×（+）=4，面積是×=．

即此時四邊形ABCD的周長是4，面積是．