Question

【題目】如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝8，CD＝10．

(1)求梯形ABCD的面積S；

(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿CDA方向，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問(wèn)：

①當(dāng)點(diǎn)P在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長(zhǎng)平分？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△CQE相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

③在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)SABCD＝40；(2)①當(dāng)t＝3秒時(shí)，PQ將梯形ABCD周長(zhǎng)平分；②t＝或t＝ 時(shí)，△PAD與△CQE相似；③t＝或8≤t＜10或10＜t≤12時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．

【解析】

（1）求面積要先求梯形的高，可根據(jù)兩底的差和CD的長(zhǎng)，在直角三角形中用勾股定理進(jìn)行求解，得出高后即可求出梯形的面積．
（2）①PQ平分梯形的周長(zhǎng)，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的長(zhǎng)，可以用t來(lái)表示出AP，BP，CQ，QD的長(zhǎng)，那么可根據(jù)上面的等量關(guān)系求出t的值．
②本題要分三種情況進(jìn)行討論：
一，當(dāng)P在AB上時(shí)，即0＜t≤8，如果兩三角形相似，那么∠C=∠ADP，或∠C=∠APD，那么在△ADP中根據(jù)∠C的正切值，求出t的值．
二，當(dāng)P在AD上時(shí)，即8＜t≤10，由于P，A，D在一條直線上，因此構(gòu)不成三角形．
三，當(dāng)P在CD上時(shí)，即10＜t≤12，由于∠ADC是個(gè)鈍角，因此△ADP是個(gè)鈍角三角形因此不可能和直角△CQE相似．
綜合三種情況即可得出符合條件的t的值．
（3）和（2）相同也要分三種情況進(jìn)行討論：
一，當(dāng)P在AB上時(shí)，即0＜t≤8，等腰△PDQ以DQ為腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)表示出DP，PQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)得出的等量關(guān)系來(lái)求t的值．
二，當(dāng)P在AD上時(shí)，即8＜t≤10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-t，因此DP，DQ恒相等．
三，當(dāng)P在CD上時(shí)，即10＜t≤12，情況同二．
綜合三種情況可得出等腰三角形以DQ為腰時(shí)，t的取值．

(1)過(guò)D作DH∥AB交BC于H點(diǎn)，

∵AD∥BH，DH∥AB，

∴四邊形ABHD是平行四邊形．

∴DH＝AB＝8；BH＝AD＝2．

∴CH＝8﹣2＝6．

∵CD＝10，

∴DH2+CH2＝CD2∴∠DHC＝90°．

∠B＝∠DHC＝90°．

∴梯形ABCD是直角梯形．

∴SABCD＝

(2)①∵BP＝CQ＝t，

∴AP＝8﹣t，DQ＝10﹣t，

∵AP+AD+DQ＝PB+BC+CQ，

∴8﹣t+2+10﹣t＝t+8+t．

∴t＝3＜8．

∴當(dāng)t＝3秒時(shí)，PQ將梯形ABCD周長(zhǎng)平分．

②第一種情況：0＜t≤8若△PAD∽△QEC則∠ADP＝∠C

∴tan∠ADP＝tan∠C＝

∴

∴t＝

若△PAD∽△CEQ則∠APD＝∠C

∴tan∠APD＝tan∠C＝

∴

∴t＝

第二種情況：8＜t≤10，P、A、D三點(diǎn)不能組成三角形；

第三種情況：10＜t≤12，△ADP為鈍角三角形與Rt△CQE不相似；

∴t＝或t＝時(shí)，△PAD與△CQE相似．

③第一種情況：當(dāng)0≤t≤8時(shí)．過(guò)Q點(diǎn)作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足為E、H．

∵AP＝8﹣t，AD＝2，

∴PD＝

∵CE＝t，QE＝t，

∴QH＝BE＝8﹣t，BH＝QE＝t．

∴PH＝t﹣t＝t．

∴PQ＝，DQ＝10﹣t．

Ⅰ：DQ＝DP，10﹣t＝，

解得t＝8秒．

Ⅱ：DQ＝PQ，10﹣t＝

化簡(jiǎn)得：3t2﹣52t+180＝0

解得：t＝，t＝＞8(不合題意舍去)

∴t＝

第二種情況：8≤t≤10時(shí)．DP＝DQ＝10﹣t．

∴當(dāng)8≤t＜10時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．

第三種情況：10＜t≤12時(shí)．DP＝DQ＝t﹣10．

∴當(dāng)10＜t≤12時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．

綜上所述，t＝或8≤t＜10或10＜t≤12時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．