Question

【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,把矩形OCBA繞點C順時針旋轉α角,得到矩形FCDE,設FC與AB交于點H,且A(0,4),C(6,0).

(1)當α=45°時，求H點的坐標.

(2)當α=60°時,ΔCBD是什么特殊的三角形?說明理由.

(3)當AH=HC時,求直線HC的解析式.

Answer 1

【答案】(1)H（2，4）；（2）△CBD為等邊三角形；理由見解析. (3) y=-x+.

【解析】

（1）根據矩形的性質得OA=BC=4，AB=OC=6，由已知條件可知△HBC是等腰直角三角形，故可求AH=2，即可求出H的坐標；

（2）根據α=60°，得∠BCD=∠α=60°，又BC=DC即可證明△BCD是等邊三角形；
（3）設AH=CH=x,則在RtΔBCH中由勾股定理代入數進行計算即可得到AH的長，進而得到H點坐標，設HC:y=kx+b(k≠0),再把C與H的坐標代入求解即可.

解:(1)H（2，4）

∵A(0,4),C(6,0)，四邊形OCBA為矩形，

OA=BC=4，AB=OC=6

∵α=45°，∠ABC=90°，

△HBC是等腰直角三角形，BH=BC=4，

AH=AB-BH=6-4=2，

H（2，4）.

（2）△CBD為等邊三角形

∵α=60°，

∠BCD=∠α=60°

又∵BC=DC，

△CBD為等邊三角形

(3)設AH=CH=x,則在RtΔBCH中由勾股定理可得x2=(6-x)2+42,解得x=.故H（,4）.

設HC:y=kx+b(k≠0),則有解得

∴直線HC的解析式為y=-x+.