Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點A的雙曲線y= 的一支在第一象限交梯形對角線OC于點D，交邊BC于點E．

（1）填空：雙曲線的另一支在第象限，k的取值范圍是；
（2）若點C的坐標為（2，2），當點E在什么位置時，陰影部分的面積S最小？
（3）若 = ，S△OAC=2，求雙曲線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）三；k＞0
（2）

解：∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，

而點C的坐標為（2，2），

∴A點的縱坐標為2，E點的橫坐標為2，B點坐標為（2，0），

把y=2代入y= 得x= ；把x=2代入y= 得y= ，

∴A點的坐標為（ ，2），E點的坐標為（2， ），

∴S陰影部分=S△ACE+S△OBE

= ×（2﹣ ）×（2﹣ ）+ ×2×

= k2﹣ k+2

= （k﹣2）2+ ，

當k﹣2=0，即k=2時，S陰影部分最小，最小值為 ；

∴E點的坐標為（2，1），即E點為BC的中點，

∴當點E在BC的中點時，陰影部分的面積S最小；

（3）

解：設D點坐標為（a， ），

∵ = ，

∴2OD=OC，即D點為OC的中點，

∴C點坐標為（2a， ），

∴A點的縱坐標為 ，

把y= 代入y= 得x= ，

∴A點坐標為（ ， ），

∵S△OAC=2，

∴ ×（2a﹣ ）× =2，

∴k= ，

∴雙曲線的解析式為y= ．

【解析】（1）根據反比例函數圖象與性質得到：雙曲線y= 的一支在第一象限，則k＞0，得到另一支在第三象限；（2）根據梯形的性質，AC∥x軸，BC⊥x軸，而點C的坐標為（2，2），則A點的縱坐標為2，E點的橫坐標為2，B點坐標為（2，0），再分別把y=2或x=2代入y= 可得到A點的坐標為（ ，2），E點的坐標為（2， ），然后計算S陰影部分=S△ACE+S△OBE= ×（2﹣ ）×（2﹣ ）+ ×2× = k2﹣ k+2，配方得 （k﹣2）2+ ，當k=2時，S陰影部分最小值為 ，則E點的坐標為（2，1），即E點為BC的中點；（3）設D點坐標為（a， ），由 = ，則2OD=OC，即D點為OC的中點，于是C點坐標為（2a， ），得到A點的縱坐標為 ，把y= 代入y= 得x= ，確定A點坐標為（ ， ），根據三角形面積公式由S△OAC=2得到 ×（2a﹣ ）× =2，然后解方程即可求出k的值．