Question

【題目】已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，點B、D分別在AN、AM上．

（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，請你探索線段AD、AB、AC之間的數量關系，并證明之；

（2）如圖2，若∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AD+AB=AC；（2）仍成立．

【解析】

（1）得到∠ACD＝∠ACB＝30°后再可以證得AD＝ABAC從而，證得結論；

（2）過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F，證得△CED≌△CFB后即可得到AD+AB＝AE﹣ED+AF+FB＝AE+AF，從而證得結論．

（1）關系是：AD+AB＝AC．證明如下：

∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAD＝∠CAB＝60°．

又∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝30°，則AD＝ABAC（直角三角形一銳角為30°，則它所對直角邊為斜邊一半），∴AD+AB＝AC．

（2）仍成立．理由如下：

過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F．

∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF（角平分線上點到角兩邊距離相等）．

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC．

又∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB（AAS）．

∵ED＝FB，∴AD+AB＝AE﹣ED+AF+FB＝AE+AF．

由（1）知AE+AF＝AC，∴AD+AB＝AC．