Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點D．過射線AD上一點M作BM的垂線，交直線AC于點N．

（1）如圖1，點M在AD上，若∠N＝15°，BC＝2，則線段AM的長為　 　；

（2）如圖2，點M在AD上，求證：BM＝NM；

（3）若點M在AD的延長線上，則AB，AM，AN之間有何數量關系？直接寫出你的結論，不證明．

Answer 1

【答案】（1）﹣1；（2）見解析；（3）AM．

【解析】

（1）證得∠ABM=15°，則∠MBD=30°，求出DM=1，則AM可求出；
（2）過點M作AD的垂線交AB于點E，根據ASA可證明△BEM≌△NAM，得出BM=NM；
（3）過點M作AD的垂線交AB于點E，同（2）可得△AEM為等腰直角三角形，證明△BEM≌△NAM，BE=AN，則問題可解；

解：（1）∵∠N＝15°，∠BMN＝∠BAN＝90°，

∴∠ABM＝15°，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，

∴∠ABC＝∠C＝45°，BD＝CD，

∴∠MBD＝∠ABD﹣∠ABM＝45°﹣15°＝30°．

∴DM＝．

∴﹣1．

故答案為：﹣1；

（2）過點M作AD的垂線交AB于點E，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠NAB＝90°，∠BAD＝45°，

∴∠AEM＝90°﹣45°＝45°∠BAD，

∴EM＝AM，∠BEM＝135°，

∵∠NAB＝90°，∠BAD＝45°，

∴∠NAD＝135°，

∴∠BEM＝∠NAD，

∵EM⊥AD，

∴∠AMN+∠EMN＝90°，

∵MN⊥BM，

∴∠BME+∠EMN＝90°，

∴∠BME＝∠AMN，

在△BEM和△NAM中，

，

∴△BEM≌△NAM（ASA），

∴BM＝NM；

（3）數量關系是：AB+AN＝AM．

證明：過點M作AD的垂線交AB于點E，

同（2）可得△AEM為等腰直角三角形，

∴∠E＝45°，AM＝EM，

∵∠AME＝∠BMN＝90°，

∴∠BME＝∠AMN，

在△BEM和△NAM中，

，

∴△BEM≌△NAM（AAS），

∴BE＝AN，

∴AM．