Question

【題目】直線l1，l2，l3，l4是同一平面內的一組平行線．

（1）如圖1，正方形ABCD的4個頂點都在這些平行線上，若四條直線中相鄰兩條之間的距離都是1，其中點A，點C分別在直線l1和l4上，求正方形的面積．

（2）如圖2，正方形ABCD的4個頂點分別在四條平行線上，若四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1，h2，h3．

①求證：h1＝h3．

②設正方形ABCD的面積為S，求證：S＝2h12+2h1h2+h22．

Answer 1

【答案】（1）正方形ABCD的面積為9或5；（2）①證明見解析；②證明見解析

【解析】

（1）分兩種情況：①如圖1，得出正方形ABCD的邊長為3，可求出正方形ABCD的面積；
②如圖1-2，過點B作EF⊥l1于E，交l4于F，則EF⊥l4，證明△ABE≌△BCF（AAS），得出AE=BF=2由勾股定理求出AB，即可得出答案；
（2）①過點B作EF⊥l1于E，交l4于F，作DM⊥l4于M，證明△ABE≌△BCF（AAS），得出AE=BF，同理△CDM≌△BCF（AAS），得出△ABE≌△CDM（AAS），得出BE=DM即可；
②由①得出AE=BF=h2+h3=h2+h1，得出正方形ABCD的面積S=AB2=AE2+BE2=（h2+h1）2+h12=2h12+2h1h2+h22．

（1）解：分兩種情況：

①如圖1所示：正方形ABCD的邊長為3，

∴正方形ABCD的面積為9；

②如圖1﹣2所示：過點B作EF⊥l1于E，交l4于F，則EF⊥l4，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠CBF＝180°﹣90°＝90°，

∵∠CBF+∠BCF＝90°，

∴∠ABE＝∠BCF，

在△ABE和△BCF中，，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE＝BF＝2，

∴AB＝ ，

∴正方形ABCD的面積＝AB2＝5；

綜上所述，正方形ABCD的面積為9或5；

（2）①證明：過點B作EF⊥l1于E，交l4于F，作DM⊥l4于M，如圖2所示：

則EF⊥l4，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠CBF＝180°﹣90°＝90°，

∵∠CBF+∠BCF＝90°，

∴∠ABE＝∠BCF，

在△ABE和△BCF中，，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE＝BF，

同理△CDM≌△BCF（AAS），

∴△ABE≌△CDM（AAS），

∴BE＝DM，即h1＝h3．

②解：由①得：AE＝BF＝h2+h3＝h2+h1，

∵正方形ABCD的面積S＝AB2＝AE2+BE2＝（h2+h1）2+h12＝2h12+2h1h2+h22．