Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+2ax+c（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，頂點為D，一次函數y＝mx﹣3的圖象與y軸交于E點，與二次函數的對稱軸交于F點，且tan∠FDC＝．

（1）求a的值；

（2）若四邊形DCEF為平行四邊形，求二次函數表達式．

（3）在（2）的條件下設點M是線段OC上一點，連接AM，點P從點A出發，先以1個單位長度/s的速度沿線段AM到達點M，再以個單位長度/s的速度沿MC到達點C，求點P到達點C所用最短時間為　 s（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣；（2）y＝﹣x2﹣x+6；（3）．

【解析】

（1）過點C作CG⊥DF交于點G，求出C與D點坐標，可得CG=1，DG=-a，再由tan∠FDC=，即可求a的值；
（2）由點的坐標分別求出CE=3+c，DF=c++m+3，再由平行四邊形的性質可得3+c=c++m+3，可以確定y=-x-3，求出A點坐標，將A點坐標代入y=-x2-x+c，即可求出c的值；
（3）連接BC，過點A作AH⊥BC交于點H，AH與CO的交點為所求M；由題意可知運動時間為AM+；在Rt△CMH中，MH=CMsin∠BCO=，則有AM+=AM+MH=AH；再在Rt△ABH中，AB=6，sin∠COB=＝＝，

求出AH=ABsin∠COB=6×＝，即為所求．

（1）過點C作CG⊥DF交于點G，

∵C（0，c），D（﹣1，c﹣a），

∴CG＝1，DG＝﹣a，

∵tan∠FDC＝，

∴＝，

∴a＝﹣；

（2）∵a＝﹣，

∴D（﹣1，c+），

∵E（0，﹣3），F（﹣1，﹣m﹣3），

∴CE＝3+c，DF＝c++m+3，

∵四邊形DCEF為平行四邊形，

∴3+c＝c++m+3，

∴m＝﹣，

∴y＝﹣x﹣3，

∴A（﹣4，0），

將A（﹣4，0）代入y＝﹣x2﹣x+c，

可得c＝6，

∴y＝﹣x2﹣x+6；

（3）連接BC，過點A作AH⊥BC交于點H，AH與CO的交點為所求M；

由題意可知運動時間為AM+；

∵y＝﹣x2﹣x+6，可求B（2，0），

在Rt△BCO中，OB＝2，OC＝6，

∴BC＝2，

∴sin∠BCO＝＝，

在Rt△CMH中，MH＝CMsin∠BCO＝，

∴AM+＝AM+MH＝AH；

在Rt△ABH中，AB＝6，sin∠COB＝＝，

∴AH＝ABsin∠COB＝6×＝，

∴點P到達點C所用最短時間為s，

故答案為；