Question

【題目】如圖，二次函數y1＝x2+bx+c與y2＝x2+cx+b（b＜c）的圖象相交于點A，分別與y軸相交于點C，B，連接AB、AC．

（1）過點（1，0）作直線l平行于y軸，判斷點A與直線l的位置關系，并說明理由．

（2）當A、C兩點是二次函數y1＝x2+bx+c圖象上的對稱點時，求b的值．

（3）當△ABC是等邊三角形時，求點B的坐標．

Answer 1

【答案】（1）直線l過點A；（2）b＝﹣1；（3）B（0，﹣）．

【解析】

（1）聯立、并解得：，故點，又因為l：，故可判定點在直線l上；

（2）先寫出、C兩點的坐標，因為、C兩點是二次函數圖象上的對稱點，故點A、C的縱坐標相同，可以據此列出方程，求解即可；

（3）先根據解析式寫出 A、B、C的坐標，過等邊三角形的點A作AH⊥BC，得到AH=1，根據三線合一得到H是BC中點，將H的坐標、BH的長度用b、c表示，可以運用三角函數表示BH與OA的關系，同時A、H的縱坐標相同，就建立了關于b、c的兩個方程，解出來代入B點坐標即可.

解：（1）聯立y1、y2并解得：x＝1，y＝1+b+c，

∴點A（1，1+b+c），

∴直線l：過點A；

（2）由題意得：點B（0，b）、C（0，c），

∵A、C兩點是二次函數y1＝x2+bx+c圖象上的對稱點，故點A、C的縱坐標相同，

即：1+b+c＝c，

解得：b＝﹣1；

（3）如下圖所示，過等邊三角形的點A(1,1+b+c)作AH⊥BC，

∴H是B（0，b）、C（0，c）中點，則點，且，

∴，,

又∵,，
∴，

又∵，
解得：，
故點