Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，點D，E分別在BC，AC邊上，且AE＝CD，

AD，BE相交于點P．

（1）求證：△ABE≌△CAD．

（2）求∠BPD的度數．

（3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）60°；（3）7.

【解析】

（1）由SAS證明△ABE≌△CAD即可；
（2）由三角形全等可以得出∠ABE=∠CAD，由外角與內角的關系就可以得出答案．
（3）由全等三角形的性質得出BE=AD，求出∠BPQ=30°，由直角三角形的性質求出BP的長，即可求得BE的長，即可解題．

（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．

在△ABE和△CAD中，，

∴△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）解：由（1）得：△ABE≌△CAD，

∴∠ABE＝∠CAD．

∵∠BAD+∠CAD＝60°，

∴∠BAD+∠ABE＝60°．

∴∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝60°．

（3）解：∵△ABE≌△CAD，

∴BE＝AD，

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，

∴BP＝2PQ＝6，

∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．