Question

【題目】小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：y=﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%．

（1）設小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍．

（2）當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？

（3）如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=進價×銷售量）

Answer 1

【答案】（1（20≤x≤32）；（2）當銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元；（3）3600．

【解析】試題分析：（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價之間的關系可近似看作一次函數，利潤=（定價﹣進價）×銷售量，從而列出關系式；

（2）首先確定二次函數的對稱軸，然后根據其增減性確定最大利潤即可；

（3）根據拋物線的性質和圖象，求出每月的成本．

試題解析：（1）由題意，得：w=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣10x+500）=，即（20≤x≤32）；

（2）對于函數的圖象的對稱軸是直線x==35．

又∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下．∴當20≤x≤32時，W隨著X的增大而增大，∴當x=32時，W=2160

答：當銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元．

（3）取W=2000得，

解這個方程得： =30， =40．

∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下，∴當30≤x≤40時，w≥2000．

∵20≤x≤32，∴當30≤x≤32時，w≥2000．

設每月的成本為P（元），由題意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000

∵k=﹣200＜0，∴P隨x的增大而減小，∴當x=32時，P的值最小，P最小值=3600．

答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，小明每月的成本最少為3600元．