Question

【題目】如圖①所示，為五角星圖案，圖②、圖③叫做蛻變的五角星．試回答以下問

（1）在圖①中，試證明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；

（2）對于圖②或圖③，還能得到同樣的結論嗎？若能，請在圖②或圖③中任選其一證明你的發現；若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．（2）結論仍然成立.

【解析】

（1）設CE與BD、AD的交點分別為M、N，可分別在△MBE和△NAC中，由三角形的外角性質求得∠DMN=∠B+∠E、∠DNM=∠A+∠C，進而在△DMN中根據三角形內角和定理得出所求的結論．
（2）圖②、③的證法與圖①的解法是一致的，以圖③為例；
延長CE交AD于F，設CE與BD的交點為M，分別在△MBE、∠FCA中，由三角形的外角性質求得∠DMF=∠B+∠E、∠DFM=∠A+∠C，繼而在△DMF中，根據三角形內角和定理得到所求的結論．

解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

（1）證明：如圖①，設BD、AD與CE的交點為M、N；

△MBE和△NAC中，由三角形的外角性質知：

∠DMN=∠B+∠E，∠DNM=∠A+∠C；

△DMN中，∠DMN+∠DNM+∠D=180°，

故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

（2）結論仍然成立，以圖③為例；

延長CE交AD于F，設CE與BD的交點為M；

同（1）可知：∠DMF=∠B+∠E，∠DFM=∠A+∠C；

在△DMF中，∠D+∠DMF+∠DFM=180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．