Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C（0，3）．且點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0），點P是拋物線上第一象限內的一個點．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）連PO、PB，如果把△POB沿OB翻轉，所得四邊形POP′B恰為菱形，那么在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QAB與△POB相似？若存在求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若（2）中點Q存在，指出△QAB與△POB是否位似？若位似，請直接寫出其位似中心的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在拋物線y=ax2+bx+c上，

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）解：在拋物線的對稱軸上存在點Q，使△QAB與△POB相似，如圖所示．

∵四邊形POP′B為菱形，

∴PO=PB，

∴∠POB=∠PBO．

∵點Q在拋物線的對稱軸上，

∴QA=QB，

∴∠QAB=∠QBA．

由△QAB與△POB相似可得∠PBO=∠QBA，

∴點Q、P、B共線．

∵PO=PB，

∴點P在OB的垂直平分線上，

∴xP= ，

此時yP=﹣（ ）2+2× +3= ，

點P的坐標為（ ， ）．

設直線PB的解析式為y=mx+n，

則有 ，

解得 ．

∴直線PB的解析式為y=﹣ x+ ．

∵拋物線的對稱軸為x=﹣ =1，

∴xQ=1，yQ=﹣ ×1+ =5，

∴點Q的坐標為（1，5）

根據對稱性點Q坐標還可以為（1．﹣5）

（3）解：△QAB與△POB位似，位似中心為點B，點B的坐標為（3，0）．

【解析】（1）點A、B、C的坐標已知，只需運用待定系數法就可求出拋物線的解析式；（2）由四邊形POP′B為菱形可得PO=PB，從而有∠POB=∠PBO．由點Q在拋物線的對稱軸上可得QA=QB，從而有∠QAB=∠QBA．由△QAB與△POB相似可得∠PBO=∠QBA，從而可得點Q、P、B共線．由PO=PB可得點P在OB的垂直平分線上，從而可得xP= ，代入拋物線即可求出點P的坐標，設直線PB的解析式為y=mx+n，運用待定系數法就可求出直線PB的解析式．由拋物線的對稱軸方程可得到點Q的橫坐標，代入直線PB的解析式，即可得到點Q的坐標；（3）觀察圖象，易知△QAB與△POB位似，位似中心即為點B，由此可得到位似中心的坐標．
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和相似三角形的性質的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．