Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，CO⊥AB于O，D在⊙O上，連接BD，CD，延長CD與AB的延長線交于E，F在BE上，且FD=FE．

（1）求證：FD是⊙O的切線；

（2）若AF=8，tan∠BDF=，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）2．

【解析】

試題分析：（1）連結OD，由CO⊥AB得∠E+∠C=90°，由FE=FD，OD=OC得到∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，于是有∠FDE+∠ODC=90°，則可根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）連結AD，由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則∠A+∠ABD=90°，又因為∠OBD=∠ODB，∠BDF+∠ODB=90°，則∠A=∠BDF，易得△FBD∽△FDA，得到=，在Rt△ABD中，根據正切的定義得到tan∠A=tan∠BDF==，于是可計算出DF=2，從而得到EF=2．

試題解析：（1）連結OD，如圖，∵CO⊥AB，∴∠E+∠C=90°，∵FE=FD，OD=OC，∴∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，∴∠FDE+∠ODC=90°，∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF，∴FD是⊙O的切線；

（2）連結AD，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠A+∠ODB=90°，∵∠BDF+∠ODB=90°，∴∠A=∠BDF，而∠DFB=∠AFD，∴△FBD∽△FDA，∴=，在Rt△ABD中，tan∠A=tan∠BDF==，∴=，∴DF=2，∴EF=2．