Question

【題目】在Rt△ABC中，∠A＝30°，在AB邊上取點D，以BD為直徑作⊙O，與AC邊切于點F，交BC邊于點E．

（1）若BC＝3，求⊙O的半徑；

（2）①連接OF、EF，則四邊形OFEB的形狀為　 　；

②寫出你的推斷過程．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①菱形；②證明詳見解析．

【解析】

（1）連接OF，根據直角三角形的性質求出AB，證明△AOF∽△ABC，根據相似三角形的性質得到＝，代入計算得到答案；

（2）①根據圖形猜想即可；

②根據等邊三角形的判定定理得到△BOE為等邊三角形，得到BE＝OB＝OE，根據菱形的判定定理證明結論．

解：（1）連接OF，

在Rt△ABC中，∠A＝30°，

∴AB＝2BC＝6，

∵AC是⊙O的切線，

∴OF⊥AC，又BC⊥AC，

∴OF∥BC，

∴△AOF∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得，OF＝2，即⊙O的半徑為2；

（2）①四邊形OFEB的形狀為菱形，

故答案為：菱形；

②在Rt△ABC中，∠A＝30°，

∴∠B＝60°，

∵OB＝OE，∠B＝60°，

∴△BOE為等邊三角形，

∴BE＝OB＝OE，

∵OF∥BC，BE＝OF，

∴四邊形OFBE為平行四邊形，

∵BE＝OB，

∴四邊形OFEB的形狀為菱形．