Question

【題目】如圖，已知拋物線經過A（-1,0）、B（4,5）兩點，過點B作BC⊥x軸，垂足為C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點M的橫坐標.

Answer 1

【答案】（1）數量關系（2） ；（3），，，.

【解析】試題分析：（1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x2+bx+c求出b和c的值即可；

（2）過點O作OH⊥AB，垂足為H，根據勾股定理可求出AB的長，進而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO=．

（3）設點M的坐標為（x，x2-2x-3），點N的坐標為（x，x+1），在分兩種情況：當點M在點N的上方時和當點M在點N的下方時，則四邊形NMCB是平行四邊形討論求出符合題意的點M的橫坐標即可．

試題解析：：（1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x2+bx+c，得

，

解得b=-2，c=-3．

∴拋物線的解析式：y=x2-2x-3．

（2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5．

在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5，

∴AC=BC．

∴∠BAC=45°，AB=．

如圖1，過點O作OH⊥AB，垂足為H．

在Rt△AOH中，OA=1，

∴AH=OH=OA×sin45°=1×=，

∴BH=AB-AH=，

在Rt△BOH中，tan∠ABO=．

（3）直線AB的解析式為：y=x+1．

設點M的坐標為（x，x2-2x-3），

點N的坐標為（x，x+1），

如圖2，當點M在點N的上方時，

則四邊形MNCB是平行四邊形，MN=BC=5．

由MN=（x2-2x-3）-（x+1）=x2-2x-3-x-1=x2-3x-4，

解方程x2-3x-4=5，得x=或x=．

②如圖3，當點M在點N的下方時，則四邊形NMCB是平行四邊形，NM=BC=5．

由MN=（x+1）-（x2-2x-3）=x+1-x2+2x+3=-x2+3x+4，

解方程-x2+3x+4=5，得x=或x=．

所以符合題意的點M有4個，其橫坐標分別為：、、、．