Question

【題目】在學習了正方形后，數學小組的同學對正方形進行了探究，發現：

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E為BC邊上任意一點（點E不與B、C重合），點F在線段AE上，過點F的直線MN⊥AE，分別交AB、CD于點M、N . 此時，有結論AE=MN，請進行證明；

（2）如圖2：當點F為AE中點時，其他條件不變，連接正方形的對角線BD， MN 與BD交于點G，連接BF，此時有結論：BF= FG，請利用圖2做出證明.

（3）如圖3：當點E為直線BC上的動點時，如果（2）中的其他條件不變，直線MN分別交直線AB、CD于點M、N，請你直接寫出線段AE與MN之間的數量關系、線段BF與FG之間的數量關系.

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析；

（3）AE與 MN的數量關系是：AE= MN ，BF與FG的數量關系是： BF= FG

【解析】（1）作輔助線，構建平行四邊形PMND，再證明△ABE≌△DAP，即可得出結論；

（2）連接AG、EG、CG，構建全等三角形和直角三角形，證明AG=EG=CG，再根據四邊形的內角和定理得∠AGE=90°，在R△AGE中，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BF=AE，FG=AE，則BF=GF；

（3）①AE=MN，證明△AEB≌△NMQ；

②BF=FG，同理得出BF和FG分別是直角△AEB和直角△AGF斜邊上的中線，則 BF=AE，FG=AE，所以BF=FG.

證明：

(1)在圖1中，過點D作PD∥MN交AB于P，則∠APD=∠AMN

∵ 正方形ABCD

∴ AB = AD，AB∥DC，∠DAB =∠B = 90°

∴ 四邊形PMND是平行四邊形且PD = MN

∵ ∠B = 90° ∴∠BAE＋∠BEA= 90°

∵MN⊥AE于F， ∴∠BAE＋∠AMN = 90°

∴∠BEA =∠AMN =∠APD

又∵AB = AD，∠B =∠DAP = 90°

∴△ABE ≌ △DAP∴ AE = PD = MN

（2）在圖2中連接AG、EG、CG

由正方形的軸對稱性 △ABG ≌ △CBG∴ AG = CG，∠GAB=∠GCB

∵ MN⊥AE于F，F為AE中點∴ AG = EG

∴ EG = CG，∠GEC=∠GCE∴ ∠GAB=∠GEC

由圖可知∠GEB＋∠GEC=180°∴ ∠GEB＋∠GAB =180°

又∵四邊形ABEG的內角和為360°，∠ABE= 90°∴ ∠AGE = 90°

在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE為斜邊，F為AE的中點，

∴BF=AE， FG= AE ∴BF= FG

（3）AE與 MN的數量關系是：AE= MN

BF與FG的數量關系是： BF= FG

“點睛”本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、全等三角形、平行四邊形的性質與判定，在有中點和直角三角形的前提下，可以利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半來證明兩條線段相等.