Question

【題目】已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD為∠ACB的平分線，將∠ACB沿CD所在的直線對折，使點B落在點B′處，連結AB'，BB'，延長CD交BB'于點E，設∠ABC＝2α（0°＜α＜45°）．

（1）如圖1，若AB＝AC，求證：CD＝2BE；

（2）如圖2，若AB≠AC，試求CD與BE的數量關系（用含α的式子表示）；

（3）如圖3，將（2）中的線段BC繞點C逆時針旋轉角（α+45°），得到線段FC，連結EF交BC于點O，設△COE的面積為S1，△COF的面積為S2，求（用含α的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD＝2BEtan2α；（3）sin（45°﹣α）．

【解析】

(1)由翻折可知：BE＝EB′，再利用全等三角形的性質證明CD＝BB′即可；

(2) 如圖 2 中， 結論：CD＝2BEtan2α．只要證明△BAB′∽△CAD，可得，推出，可得CD＝2BEtan2α；

(3) 首先證明∠ECF＝90°，由∠BEC+∠ECF＝180°，推出BB′∥CF，推出sin(45°﹣α)，由此即可解決問題.

(1)如圖1中，

∵B、B′關于EC對稱，

∴BB′⊥EC，BE＝EB′，

∴∠DEB＝∠DAC＝90°，

∵∠EDB＝∠ADC，

∴∠DBE＝∠ACD，

∵AB＝AC，∠BAB′＝∠DAC＝90°，

∴△BAB′≌CAD，

∴CD＝BB′＝2BE；

(2)如圖2中，結論：CD＝2BEtan2α，

理由：由(1)可知：∠ABB′＝∠ACD，∠BAB′＝∠CAD＝90°，

∴△BAB′∽△CAD，

∴，

∴，

∴CD＝2BEtan2α；

(3)如圖 3中．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°﹣2α，

∵EC平分∠ACB，

∴∠ECB(90°﹣2α)＝45°﹣α，

∵∠BCF＝45°+α，

∴∠ECF＝45°﹣α+45°+α＝90°，

∴∠BEC+∠ECF＝180°，

∴BB′∥CF，

∴sin(45°﹣α)．

∵，

∴sin(45°﹣α)．