Question

【題目】如圖(1)，等邊△ABC 中，D 是 AB 邊上的動點，以 CD 為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE．


（1）△DBC 和△EAC 會全等嗎？請說說你的理由；
（2）試說明 AE∥BC 的理由；
（3）如圖(2)，將(1)動點 D 運動到邊 BA 的延長線上，所作仍為等邊三角形，請問是否仍有AE∥BC？證明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：△DBC≌△EAC ，理由如下：
∵△ABC、△EDC均為等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE
在△DBC 和△EAC 中，

∴△DBC≌△EAC（SAS）.

（2）解：由（1）知△DBC≌△EAC，
∴∠EAC=∠B=60° ，
又∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC.

（3）解：AE∥BC 仍然成立；理由如下：
∵△ABC、△EDC 為等邊三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
又∵∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△DBC 和△EAC 中，

∴△DBC≌△EAC（SAS），

∴∠EAC=∠B=60° ，
又∵∠ACB=60°，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC．

【解析】（1）△DBC≌△EAC ，理由如下：由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠DCE=60°，再根據(jù)等量代換求出∠BCD=∠ACE；最后根據(jù)SAS得△DBC≌△EAC.
（2）由（1）知△DBC≌△EAC，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得出∠EAC=∠B=60° ，又∠ACB=60°，等量代換得出∠EAC=∠ACB，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，從而得證.
（3）AE∥BC 仍然成立；理由如下：由等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，再根據(jù)等量代換求出∠BCD=∠ACE；最后根據(jù)SAS得△DBC≌△EAC；再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得出∠EAC=∠B=60° ，又∠ACB=60°，等量代換得出∠EAC=∠ACB，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，從而得證.
【考點精析】掌握平行線的判定和等邊三角形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道同位角相等，兩直線平行;內(nèi)錯角相等，兩直線平行;同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．