Question

【題目】為了支持大學生創業，某市政府出臺了一項優惠政策：提供10萬元的無息創業貸款．小王利用這筆貸款，注冊了一家淘寶網店，招收5名員工，銷售一種火爆的電子產品，并約定用該網店經營的利潤，逐月償還這筆無息貸款．已知該產品的成本為每件4元，員工每人每月的工資為4千元，該網店還需每月支付其它費用1萬元．該產品每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）萬件之間的函數關系如圖所示．

（1）求該網店每月利潤w（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數表達式；

（2）小王自網店開業起，最快在第幾個月可還清10萬元的無息貸款？

Answer 1

【答案】（1）當4≤x≤6時，w1=﹣x2+12x﹣35，當6≤x≤8時，w2=﹣x2+7x﹣23；（2）最快在第7個月可還清10萬元的無息貸款．

【解析】（1）y（萬件）與銷售單價x是分段函數，根據待定系數法分別求直線AB和BC的解析式，又分兩種情況，根據利潤=（售價﹣成本）×銷售量﹣費用，得結論；

（2）分別計算兩個利潤的最大值，比較可得出利潤的最大值，最后計算時間即可求解．

（1）設直線AB的解析式為：y=kx+b，

代入A（4，4），B（6，2）得：，

解得：，

∴直線AB的解析式為：y=﹣x+8，

同理代入B（6，2），C（8，1）可得直線BC的解析式為：y=﹣x+5，

∵工資及其他費作為：0.4×5+1=3萬元，

∴當4≤x≤6時，w1=（x﹣4）（﹣x+8）﹣3=﹣x2+12x﹣35，

當6≤x≤8時，w2=（x﹣4）（﹣x+5）﹣3=﹣x2+7x﹣23；

（2）當4≤x≤6時，

w1=﹣x2+12x﹣35=﹣（x﹣6）2+1，

∴當x=6時，w1取最大值是1，

當6≤x≤8時，

w2=﹣x2+7x﹣23=﹣（x﹣7）2+，

當x=7時，w2取最大值是1.5，

∴==6，

即最快在第7個月可還清10萬元的無息貸款．