Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，拋物線 y=ax2 -2ax+4(a<0) 交 x 軸于點 A、B，與 y 軸交于點 C，AB=6．

（1）如圖 1，求拋物線的解析式；

（2） 如圖 2，點 R 為第一象限的拋物線上一點，分別連接 RB、RC，設△RBC 的面積為 s，點 R 的橫坐標為 t，求 s 與 t 的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，如圖 3，點 D 在 x 軸的負半軸上，點 F 在 y 軸的正半軸上，點 E 為 OB 上一點，點 P 為第一象限內一點，連接 PD、EF，PD 交 OC 于點 G，DG=EF，PD⊥EF，連接 PE，∠PEF=2∠PDE，連接 PB、PC，過點R 作 RT⊥OB 于點 T，交 PC 于點 S，若點 P 在 BT 的垂直平分線上，OB-TS=，求點 R 的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）R（2，4）或R（，）

【解析】

（1）先求出拋物線的對稱軸，再根據A、B關于拋物線對稱軸對稱和AB的長即可求出A、B的坐標，然后代入解析式即可；

（2）過點R作x軸的垂線，交BC于點M，根據題意可得點R的坐標為，點M的橫坐標為t,然后求出點C的坐標，利用待定系數法求出直線BC的解析式，即可求出點M的坐標，最后利用“鉛垂高，水平寬”即可求出結論；

（3）設PG與EF交于點H，連接EG，設R點的坐標為，則OT=t，根據題意求出點S的坐標，即可求出直線SC的解析式，然后根據全等三角形的判定及性質、垂直平分線的判定、三線合一證出OP平分∠EOG，可得點P的橫縱坐標相等，再結合已知條件即可求出點P的坐標，代入直線SC的解析式即可求出t，從而求出點R的坐標．

解：（1）拋物線 y=ax2 -2ax+4(a<0)的對稱軸為x=

∵AB=6，A、B關于x=1對稱

∴點A的橫坐標為1－=-2，點B的橫坐標為1＋=4

∴點A的坐標為（-2,0），點B的坐標為（4,0）

將點A的坐標代入y=ax2 -2ax+4中，得

0=4a＋4a＋4

解得：a=

∴拋物線的解析式為；

（2）過點R作x軸的垂線，交BC于點M

∵點 R 的橫坐標為 t

∴點R的坐標為，點M的橫坐標為t

將x=0代入中，解得y=4

∴點C的坐標為（0,4）

設直線BC的解析式為y=kx＋b

將點B、C的坐標代入，得

解得：

∴直線BC的解析式為y=-x＋4

∴點M的坐標為（t，-t＋4）

∴RM=

∴s=RM·（xB－xC）=·（4－0）=

（3）設PG與EF交于點H，連接EG

設R點的坐標為，則OT=t

∵OB-TS=，OB=4

∴TS=

∴點S的坐標為（t，）

設直線SC的解析式為：y=mx＋n

將S、C的坐標代入，得

解得：

∴直線SC的解析式為

∵∠DOG=∠FOE=∠DHE=90°

∴∠ODG＋∠HEO=90°，∠OFE＋∠HEO=90°

∴∠ODG=∠OFE

∵DG=FE

∴△ODG≌△OFE

∴OG=OE，

∴點O在GE的中垂線上，△OGE為等腰直角三角形

∴∠GEO=∠OGE=45°

∴∠PGE=∠GEO＋∠PDE=45°＋∠PDE，∠FEG=∠OGE－∠OFE=45°－∠PDE

∵∠PEF=2∠PDE

∴∠PEG=∠PEF＋∠FEG=2∠PDE＋45°－∠PDE=45°＋∠PDE

∴∠PGE=∠PEG

∴PG=PE

∴點P在EG的中垂線上

∴OP垂直平分EG

∴OP平分∠EOG

∴點P的橫、縱坐標相等

∵點 P 在 BT 的垂直平分線上

∴點P的坐標為（）

將點P的坐標代入直線SC的解析式中，得

解得：

經檢驗：均為原方程的解

當t=2時，點R的坐標為（2,4）；

當t=時，點R的坐標為（，）

綜上所述：R（2，4）或R（，）