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12．(16分)設數列{a_n}的前n項和為S_n，

已知a₁＝1,2S_n＝(n+1)a_n(n∈N^*)．

(1)求a₂，a₃，a₄的值；

(2)寫出從a_n－1到a_n的遞推公式；

(3)求數列{a_n}的通項公式．

[解析]　(1)由2(1+a₂)＝3a₂，得a₂＝2.

由2(1+2+a₃)＝4a₃，得a₃＝3.

由2(1+2+3+a₄)＝5a₄，得a₄＝4.

(2)∵2S_n＝(n+1)a_n(n∈N^*)，

∴2S_n－1＝na_n－1(n>1)，

兩式相減，得2a_n＝(n+1)a_n－na_n－1，

∴遞推公式為a_n＝a_n－1(n>1)．

(3)由(2)得a_n＝a_n－1

＝·a_n－2

＝··a_n－3

……

＝···…··a₁＝na₁.

又∵a₁＝1，

∴數列{a_n}的通項公式為a_n＝n(n∈N^*)．

11．(15分)已知數列{a_n}的前n項和S_n，求數列{a_n}的通項公式．

(1)S_n＝(－1)ⁿ⁺¹n；

(2)S_n＝2n²+n+3.

[解析]　(1)由S_n＝(－1)ⁿ⁺¹n.

當n＝1時，

a₁＝S₁＝1；

當n≥2時，

a_n＝S_n－S_n－1

＝(－1)ⁿ⁺¹n－(－1)ⁿ(n－1)

＝(－1)ⁿ(－2n+1)

＝(－1)ⁿ⁺¹(2n－1)．

又∵n＝1時，a₁＝(－1)¹⁺¹(2×1－1)＝1，

即a₁也滿足a_n＝(－1)ⁿ⁺¹(2n－1)，

∴a_n＝(－1)ⁿ⁺¹(2n－1)．

(2)由S_n＝2n²+n+3，

當n＝1時，a₁＝S₁＝6；

當n≥2時，

a_n＝S_n －S_n－1

＝(2n²+n+3)－[2(n－1)²+(n－1)+3]

＝4n－1.

∴a_n＝

10．(15分)已知數列{a_n}分別滿足下列條件，寫出它的前五項，并歸納出各數列的一個通項公式．

(1)a₁＝0，a_n+1＝a_n+(2n－1)；

(2)a₁＝1，a_n+1＝.

[解析]　(1)因為a₁＝0，a_n+1＝a_n+(2n－1)，

所以a₂＝a₁+(2×1－1)＝1，

a₃＝a₂+(2×2－1)＝4，

a₄＝a₃+(2×3－1)＝9，

a₅＝a₄+(2×4－1)＝16.

所以它的前五項為0,1,4,9,16，此數列又可寫成(1－1)²，(2－1)²，(3－1)²，(4－1)²，(5－1)²，….

該數列的一個通項公式為a_n＝(n－1)².

(2)因為a₁＝1，a_n+1＝，

所以a₂＝，a₃＝，a₄＝，a₅＝.

它的前五項依次為1，，，，，因此該數列可寫成，，，，….

故它的一個通項公式為a_n＝.

9．數列，，，，…中，有序數對(a，b)可以是____．

[解析]　從上面的規律可以看出，

解上式得.

[答案]　

8．(2008年四川卷)設數列{a_n}中，a₁＝2，a_n+1＝a_n+n+1，則通項a_n＝________.

[解析]　由a_n+1＝a_n+n+1，∴a_n+1－a_n＝n+1，

∴a₂－a₁＝2，

a₃－a₂＝3，a₄－a₃＝4，…，a_n－a_n－1＝n，

∴累加得a_n－a₁＝2+3+…+n，

a_n＝a₁+－1，∴a_n＝+1.

[答案]　+1

7．若數列3,5,9,17,33…，則通項公式a_n＝________.

[解析]　∵a₁＝3＝2¹+1，a₂＝5＝2²+1，

a₃＝9＝2³+1，…，

∴a_n＝2ⁿ+1.

[答案]　2ⁿ+1

6．已知數列{a_n}的通項公式是a_n＝n²+kn+2，若對于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n成立，則實數k的取值范圍是

(　)

A．k＞0　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．k＞－1

C．k＞－2　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．k＞－3

[解析]　a_n+1＞a_n，即(n+1)²+k(n+1)+2＞n²+kn+2，

則k＞－(2n+1)對于n∈N^*都成立，而－(2n+1)當n＝1時取得最大值－3，所以k＞－3.

[答案]　D

5．若數列{a_n}滿足a₁＝1，a₂＝2，a_n＝(n≥3且n∈N^?)，則a₄₇＝

(　)

A．1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．2^－987

[解析]　由已知遞推公式可得a₁＝1，a₂＝2，a₃＝2，a₄＝1，a₅＝，a₆＝，a₇＝1，a₈＝2，…，故{a_n}是以6為周期的數列，故a₄₇＝a_6×7+5＝a₅＝.

[答案]　C