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（1）如圖，設點P，Q是線段AB的三等分點，若

OA

=a，

OB

=b，試用a，b表示向量

OP

，

OQ

．
（2）在（1）中，當點P，Q三等分線段AB中，有

OP

+

OQ

=

OA

+

OB

．如果點A₁，A₂，…A&_n是AB的n（n≥3）等分點，你能得出什么結論？請證明你的結論．
（3）條件同（1）（2），試用試用a，b表示向量

OAk

（1≤k≤n）．

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如圖，矩形A₁A₂A′₂A′₁，滿足B、C在A₁A₂上，B₁、C₁在A′₁A′₂上，且BB₁∥CC₁∥A₁A′₁，A₁B=CA₂=2，BC=2

2

，A₁A′₁=λ，沿BB₁、CC₁將矩形A₁A₂A′₂A′₁折起成為一個直三棱柱，使A₁與A₂、A′₁與A′₂重合后分別記為D、D₁，在直三棱柱DBC-D₁B₁C₁中，點M、N分別為D₁B和B₁C₁的中點．

（Ⅰ）證明：MN∥平面DD₁C₁C；
（Ⅱ）若二面角D_1-MN-C為直二面角，求λ的值．

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一、選擇題:1-5 :A D B D C  6-10: C C C D B  11-12: B B學科網

二、填空題: 13,  14.  3  15.  16. （1，2），（3，402）學科網

三、解答題

三、解答題（本大題共6小題，共70分）

17．（12分）

解：（1）∥             2分

          4分 

又為銳角                 6分

（Ⅱ）   由    得 

又代入上式得：（當且僅當時等號成立。） 9分

（當且僅當時等號成立。）     11分

的面積的取值范圍為.                               12分

18．（12分）

解法一：

（Ⅰ）取中點，連結．

，．

，．

，平面．

平面，．

（Ⅱ），，

．

又，．

又，即，且，

平面．

取中點．連結．

，．

是在平面內的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．二面角的余弦值為

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

過作，垂足為．

平面平面，

平面．

的長即為點到平面的距離．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．平面，

．

在中，，，．．

點到平面的距離為．

解法二：

（Ⅰ），，．

又，．

，平面．

平面，．

（Ⅱ）如圖，以為原點建立空間直角坐標系．

則．設．

，，．

取中點，連結．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．二面角的余弦值為．

（Ⅲ），

在平面內的射影為正的中心，且的長為點到平面的距離．

如（Ⅱ）建立空間直角坐標系．

，點的坐標為．

．點到平面的距離為．

19.（12分）

解：（Ⅰ）由條件得，又時，，

　　　故數列構成首項為1，公式為的等比數列．從而，即．

（Ⅱ）由得，

，

兩式相減得 ： ， 所以 ．

（Ⅲ）由得

　　　所以．

20.（12分）

解：（Ⅰ）①當0＜t10時，V(t)=(－t²+14t－40)

化簡得t²－14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②當10＜t12時，V（t）＝4（t－10）（3t－41）+50＜50,

化簡得（t－10）（3t－41）＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.

綜合得0<t<4,或10<t12,

故知枯水期為1月，2月， 3月，4月，11月，12月共6個月.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）內達到.

由V′（t）=

令V′(t)=0,解得t=8(t=－2舍去).

當t變化時，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：

t

(4,8)

8

(8,10)

V′(t)

+

0

－

V(t)

極大值

由上表，V(t)在t＝8時取得最大值V(8)＝8e²+50－108.32(億立方米).

故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米

21.（12分）

解：（Ⅰ）由題意得直線的方程為．

因為四邊形為菱形，所以．

于是可設直線的方程為．

由得．

因為在橢圓上，

所以，解得．

設兩點坐標分別為，

則，，，．

所以．

所以的中點坐標為．

由四邊形為菱形可知，點在直線上，

所以，解得．

所以直線的方程為，即．

（Ⅱ）因為四邊形為菱形，且，

所以．

所以菱形的面積．

由（Ⅰ）可得，

所以．

所以當時，菱形的面積取得最大值．

22.（10分）解：從⊙O外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點作弦AE平行于CD，連結BE交CD于F。求證：BE平分CD.

【分析1】構造兩個全等△.

連結ED、AC、AF。

CF=DF←△ACF≌△EDF←

←

←∠PAB=∠AEB=∠PFB

【分析2】利用圓中的等量關系。連結OF、OP、OB.

←∠PFB=∠POB←

←

23.（10分）解：（Ⅰ）是圓，是直線．

的普通方程為，圓心，半徑．

的普通方程為．

因為圓心到直線的距離為，所以與只有一個公共點．

（Ⅱ）壓縮后的參數方程分別為

：（為參數）； ：（t為參數）．

化為普通方程為：：，：，

聯立消元得，其判別式，

所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和與公共點個數相同．

24.（10分）解：

（Ⅰ）

圖像如下：

（Ⅱ）不等式