題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，
D、E分別為棱AB、BC的中點， M為棱AA1上的點，二面角M―DE―A為30°.
（1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求點C到平面MDE的距離。
(本小題滿分12分)某校高2010級數學培優學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。
（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?
(本小題滿分12分)
某廠有一面舊墻長14米,現在準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費用為a元；②修1米舊墻的費用為
元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費用為
元,經過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最省?(1)、(2)兩種方案哪個更好?
(本小題滿分12分)
已知a,b是正常數, a≠b, x，y
(0,＋∞).
(1)求證:
≥
,并指出等號成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
(2)利用(1)的結論求函數
的最小值,并指出取最小值時相應的x 的值.
(本小題滿分12分)
已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋
b，y=－ka＋
b (k
R).
(1)若t=1,且x∥y,求k的值；
(2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.
一、選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
A
C
B
A
D
D
A/B
B
D
二、 填空題：
13． 8
14．（理）
（文）
15. 
16．
或 
或 
三、解答題： 答案僅供參考，其他解法參照給分
17．(本小題滿分12分)
（理） 解：
(文) 解：（1）由兩角和差公式及二倍角公式得
由
得
于是函數
的單調遞增區間為
-------------6分
（2）由（1）知
再由
得------------------------8分
--------------------10分
所以函數的值域為
-------------------------12分
18．（本小題滿分12分）
（理） 解：（1）該考生得50分的情況有三類;①在“兩道只能分別判斷２個選項是錯誤的”時，該兩題竟然全選對后面兩道題全選錯，其概率為
；②在“兩道只能分別判斷２個選項是錯誤的”時，該兩題竟然全選錯后面兩道題全選對，其概率為
；③在“兩道只能分別判斷２個選項是錯誤的”時，該兩題只能選對一道后面兩道題也只能一錯一對，其概率為
，從而有
…………………………………4分
（2）用
表示所得分數，則可能的取值為40，45，50，55，60
∵
……………8分
∴的概率分布列為
40
45
50
55
60
P
…12分
（文） 解: (I)記“取到的4個球全是紅球”為事件A，則
……………………… 4分
(II)記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件B，“取到的4個球只有1個紅球”為事件
由題意得
………………………6分
………………………8分
………………………10分
所以，
化簡，得
解得
n=2，或
故n=2. ………………………12分
19．（本小題滿分12分）
證明: （I）連結PA．
∵ PD⊥平面ABCD， CD⊥AD，
∴ PA⊥CD（三垂線定理）．………………2分
∵ M、N分別是PB、AB的中點，
∴ MN∥PA，
∴ MN⊥CD．………………………6分
（理）（II） 過點O作DN的垂線OE，垂足為E，連結ME．
∵ MO⊥平面ABCD，∴ ME⊥DN．
∴ ∠MEO就是二面角M－DN－C的平面角． ………………………9分
∵ △MOE中，∠MOE＝90°，MO＝3，OE＝
，
∴ 
．
故二面角M－DN－C的大小為
．………………………12分
（文）（II）設AC、BD交于點O．
∵ MO∥PD，
∴ MO⊥底面ABCD，且MO＝
PD＝3．
………………………9分
∵ N是AB的中點，
∴ 
， ∴
，
∴ 
………………………12分
20．（本小題滿分12分）
（理） 解：（1）令
，
則
，---------------------------------------2分
由
得，
由
得，
---------------------------------4分
由
的定義域
知，
的單調遞增區間為
；遞減區間為
--------------------6分
（2） 令
,則函數
與
的圖象有且只有兩個不同的交點
與x軸正半軸有且只有兩個不同的交點.對
求導數,得----------8分
.
又∵x→0時，
＜0,x→+∞時，＞0------------------------------------------10分
有兩個不同正根的充要條件是
或
,解得m=7或m=
.---------------------------12分
也可由（1）知，函數在
處取得極值，若要恰有兩不同的根，則必有
或
，所以有m=7或m=
（文）解：（Ⅰ）
，
---------------2分
-----------------------------------4分
又
故所求
。----------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由
得，
，
由
得， 
，
故函數
的單調遞增區間為
單調遞減區間為
------8分
恒成立，
故函數在單調遞增區間為
---------------10分
由得，
，
由得， 
，
故函數的單調遞增區間為
單調遞減區間為
----12分
21．（本小題滿分12分）
（理）解：(1)由已知設橢圓方程為
，
則
---------------2分
a=2, c=
, b=1.---------------------------------4分
∴橢圓的標準方程為
----------------------------------------------6分
(2)當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.
當直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,
解得B(
,
),C(－,－),------------8分
則
,又點A到直線BC的距離d=
,
∴△ABC的面積S△ABC=
于是S△ABC=
----------------------------10分
由
≥－1,得S△ABC≤
,其中,當k=－時,等號成立.
∴S△ABC的最大值是.
-------------------------------12分
（文）解:（Ⅰ）設
，由
知，點C的軌跡為
．
由
消y，得 
．
設
，
，則
，
．………………………4分
所以，
，
所以 
，
于是 
．………………………………………………………6分
（Ⅱ）假設存在過點P的弦EF符合題意，則此弦的斜率不為零，設此弦所在直線的方程為
．
由
消x，得
．
設
，
，則
，
．…………………8分
因為過點P作拋物線的弦的長度是原點到弦的中點距離的2倍，所以 
，
即
， ……………………10分
所以 
，得 
．
所以，存在．………………………………………………………12分
22．（本小題滿分14分）
（理 ）解:（I） 由已知，得 
，
即
， ………………………2分
所以數列｛
｝是公比為2的等比數列，首項為
＝2，
故
＝
. ………………………４分
也可以用累積法
（II） 因為
＝
,
若＝恒成立，則
恒成立，所以
………………………６分
解出 A＝1，B＝－4，C＝6．
故存在常數A，B，C滿足條件. ………………………８分
（III）
＝(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn+1－bn)＝bn+1－b1
�。�
＝ 
………………………11分
＜ 
＝
＝ 
＝ 
≤ 
．………………………14分
別證：可以應用數學歸納法．
（文） 解:（Ⅰ）
，
. ---------------4分
（Ⅱ）∵
，且
∴
.-------------------------------8分
（Ⅲ）設第
個圖形的邊數為
∴
，且
, ∴
.
∵第個圖形的面積為
則
------------------------10分
=
=
∴
……
------------------------------------------12分
上述
個式子兩邊分別相加得：
]
∴
∴
-------------------------------------------------------------------14分
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