Question

(本小題滿分12分)

某廠有一面舊墻長14米,現在準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費用為a元；②修1米舊墻的費用為元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費用為元,經過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最省?(1)、(2)兩種方案哪個更好?

 

Answer 1

解析：設利用舊墻的一面矩形邊長為x米,則矩形的另一面邊長為米.

   (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形一面邊長,

則修舊墻費用為元.……………………………2分

將剩余的舊墻拆得材料建新墻的費用為元,其余建新墻的費用為元,故總費用為:

……………………………4分

  ＝

  ＝……………………………5分

所以…………………………6分

當且僅當,即x＝12米時,元.

(2)若利用舊墻的一面為矩形邊長x≥14,

則修舊墻的費用為元.

建新墻的費用為元,

故總費用為

            ＝( x≥14) ……………………8分

令,

則),

因為14≤＜,所以－＜0, ?＞196,

從而＞0,所以.……………………10分

所以函數在[14,＋∞)上為增函數,故當x＝14時,

………………………12分

綜合上述討論知,采用方案(1),利用舊墻其中的12米為矩形的一面邊長時,建墻總費用最省,為35a元. ………………………13分