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（2012•自貢三模）如圖所示，己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC₁，BC的中點，P點在A₁B₁上，且滿足

A1P

=λ

A1B1

（λ∈R）．
（I）證明：PN⊥AM；
（II）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求出該最大角的正切值；
（III）在（II）條件下求P到平而AMN的距離．

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如圖，在直三棱柱（側棱垂直底面）中，M、N分別是BC、AC₁中點，AA₁＝2，AB＝，AC＝AM＝1.

（1）證明：MN∥平面A₁ABB₁；
（2）求幾何體C—MNA的體積.

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在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁=1，D、E分別為棱AB、BC的中點，M為棱AA₁上的點．
（1）證明：A₁B₁⊥C₁D；
（2）當AM=

3

2

時，求二面角M-DE-A的大小．

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一、選擇題  1--5 ADACB   6--10  ABACD  11―12 CB

二、填空題  13．8    14．7   15．12   16．AB

_{三、解答題}

17.解：（Ⅰ） ，

，

．…………………………（4分）  

　，  ．………………………（6分）

（Ⅱ）由余弦定理，得　．………（8分）

，  ．

所以的最小值為，當且僅當時取等號．………………（12分）

18.（Ⅰ）解法一：依據題意，因為隊伍從水路或陸路抵達災區的概率相等，則將“隊伍從水路或陸路抵達災區”視為同一個事件. 記“隊伍從水路或陸路抵達災區”為事件C，且B、C相互獨立，而且．……………………………（2分）

在5月13日恰有1支隊伍抵達災區的概率是

.……………………（6分）

解法二：在5月13日恰有1支隊伍抵達災區的概率是

.…………（6分）

（Ⅱ）依據題意，因為隊伍從水路或陸路抵達災區的概率相等，則將“隊伍從水路或陸路抵達災區”視為同一個事件. 記“隊伍從水路或陸路抵達災區”為事件C，且B、C相互獨立，而且.

設5月13日抵達災區的隊伍數為，則=0、1、2、3、4. ……………………（7分）

由已知有：；

；

；

；

.

答：在5月13日抵達災區的隊伍數為2時概率最大……………………（12分）

19. （I）由已知a₂－a₁=－2, a₃－a₂=－1, －1－(－2)=1

∴a_n+1－a_n=(a₂－a₁)+(n－1)?1=n－3 

n≥2時，a_n=( a_n－a_n－1)+( a_n－1－a_n－2)+…+( a₃－a₂)+( a₂－a₁)+ a₁

          =(n－4)+(n－5) +…+(－1)+(－2)+6 =

n=1也合適.  ∴a_n=  (n∈N*) ……………………3分

又b₁－2=4、b₂－2=2 .而  ∴b_n－2=（b₁－2）?()^n－1即b_n=2+8?()ⁿ……(6分)

∴數列{a_n}、{b_n}的通項公式為：a_n= ，b_n=2+()^n－3

（II）設

當k≥4時為k的增函數，－8?()^k也為k的增函數，而f(4)=

∴當k≥4時a^k－b^k≥………………10分

又f(1)=f(2)=f(3)=0   ∴不存在k， 使f(k)∈（0，）…………12分

20解法1：（Ⅰ）因為M是底面BC邊上的中點，且AB=AC，所以AMBC，

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面,  AM 又.所以AM平面.

（或：連結，  又,.）…………(5分)

（II）因為AM平面

且M平面，NM平面

∴AMM, AMNM，

∴MN為二面角―AM―N的平面角. …………（7分）

∴，設C₁N=，則CN=1－

又M=,MN=, 

連N，得N＝，

在MN中，由余弦定理得 

,  …（10分）

得=.故=2. …    （12分）

解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則（0，0，1），M（0，，0）,

C（0,1,0）, A （），設N （0,1,a） ,所以，

，,

因為所以,同法可得.又故AM面BC.

   （II）由（Ⅰ）知??為二面角―AM―N的平面角,以下同法一.

21解（Ⅰ）由已知  

∴    ∴………………（2分）

又且    ∴ （舍去）

∴…（4分）

（Ⅱ）令    即的增區間為、

∵在區間上是增函數

∴或     則或……（8分）

（Ⅲ）令或

∵    

 ∴在上的最大值為4，最小值為0………………（10分）

∴、時，……………（12分）

22.解  （1）設為橢圓的左特征點，橢圓的左焦點為，可設直線的方程為.并將它代入得：，即.設，則，……（3分）

∵被軸平分，∴.即.

即，∴.……………（5分）

于是.

∵，即.………………（7分）

（2）對于橢圓.于是猜想：橢圓的“左特征點”是橢圓的左準線與軸的交點. ………………（9分）

證明：設橢圓的左準線與軸相交于M點，過A，B分別作的垂線，垂足分別為C，D.

據橢圓第二定義：∵

于是即.∴，又均為銳角，∴，∴.

∴的平分線.故M為橢圓的“左特征點”. ………（14分）