Question

如圖，在直三棱柱（側(cè)棱垂直底面）中，M、N分別是BC、AC₁中點(diǎn)，AA₁＝2，AB＝，AC＝AM＝1.

（1）證明：MN∥平面A₁ABB₁；
（2）求幾何體C—MNA的體積.

Answer 1

（1）證MN∥A₁B ；（2）.

試題分析：（1）因?yàn)椋琈、N分別是BC、AC₁中點(diǎn)，連A₁B, A₁C,則咋三角形A₁BC中，由三角形中位線定理知，MN∥A₁B ，又平面A₁ABB₁，所以，MN∥平面A₁ABB₁；   6分
（2）因?yàn)椋瑐?cè)棱垂直底面，所以側(cè)面垂直于底面。由N是AC₁中點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)G,則NG垂直于底面，即為三棱錐C—MNA，亦即三棱錐N—AMC的高=AA₁，而AA₁＝2，AB＝，
AC＝AM＝1，由三角形中線定理，
所以，CM=BM=,，.               12分
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。本題體積計(jì)算應(yīng)用了“等積法”。