Question

如圖所示的幾何體ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED為正方形，且所在平面垂直于平面ABC．

（Ⅰ）證明：平面ADE∥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角D－AE－F的正切值．

Answer 1

(1)利用線面平行的判定定理來證明平行即可。
（2）

試題分析：解：（Ⅰ）取的中點，

的中點，連接.
則，又平面平面，
所以平面，同理平面，
所以又易得，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又，所以平面平面.                （6分）
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則,,，，

，.
設平面的一個法向量是，則
，
令，得.                        （9分）
設平面的一個法向量是，則
令，得.
所以，
易知二面角為銳二面角，故其余弦值為，
所以二面角的正切值為.                （12分）
點評：主要是考查了空間幾何體中線面平行的證明，以及二面角的平面角的求解的綜合運用，屬于中檔題。