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已知點A（x₁，y₁）在圓（x-2）²+y²=4上運動，點A不與（0，0）重合，點B（4，y₀）在直線x=4上運動，動點M（x，y）滿足

OM

∥

OB

，

OM

=

AB

．動點M的軌跡C的方程為F（x，y）=0．
（1）試用點M的坐標x，y表示y₀，x₁，y₁；
（2）求動點M的軌跡方程F（x，y）=0；
（3）以下給出曲線C的五個方面的性質，請你選擇其中的三個方面進行研究，并說明理由．（若你研究的方面多于三個，我們將只對試卷解答中的前三項予以評分）
①對稱性；
②頂點坐標（定義：曲線與其對稱軸的交點稱為該曲線的頂點）；
③圖形范圍；
④漸近線；
⑤對方程F（x，y）=0，當y≥0時，函數y=f（x）的單調性．

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直線l：y=k（x-1）過已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1經過點（0，

3

），離心率為

1

2

，經過橢圓C的右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，點A、F、B在直線x=4上的射影依次為點D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且

MA

=λ

AF

，

MB

=μ

BF

，當直線l的傾斜角變化時，探求λ+μ的值是否為定值？若是，求出λ+μ的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由．

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一、選擇題

ADBBD  ABBAD

二、填空題

11、        12、          13、C      14、21           15、          16、（-，0）

三、解答題

17、解：（1）    4分

∵f（x）的最小值為3

所以-a+=3,a=2

∴f(x)=-2sin(2x+)+5                                  6分

（2）因為(-)變為了()，所以h=,k=-5

由圖象變換得=-2sin(2x-)            8分

由2kp+≤2x-≤2kp+    得kp+≤x≤kp+  所以單調增區間為

[kp+, kp+](k∈Z)       13分

18、解：（1）如圖，在四棱錐中，

∵BC∥AD，從而點D到平面PBC間的距離等于點A

到平面PBC的距離.         2分

∵∠ABC=，∴AB⊥BC，

又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，

∴BC⊥平面  PAB，                 4分

∴平面PAB⊥平面PBC，交線為PB，

過A作AE⊥PB，垂足為E，則AE⊥平面PBC，

∴AE的長等于點D到平面PBC的距離．

而，∴．

即點D到平面PBC的距離為．                 6分

（2）依題意依題意四棱錐P-ABCD的體積為，

∴（BC+AD）AB×PA=，∴，                 8分

平面PDC在平面PAB上的射影為PAB，S_PAB=，         10分

PC=，PD=，DC=，S_PDC=a²,           12分

設平面PDC和平面PAB所成二面角為q，則cosq==

q=arccos.    13分

19、解：（1）從10 道不同的題目中不放回地隨機抽取3次，每次只抽取1道題，抽法總數為只有第一次抽到藝術類數目的抽法總數為

∴                                   5分

（2）抽到體育類題目的可能取值為0，1，2，3則

∴的分布列為

0

1

2

3

P

10分

                         11分

從而有                   13分

20、解:（1）設與在公共點處的切線相同

                         1分

由題意知       ，∴    3分

由得，，或（舍去）

即有                                        5分

（2）設與在公共點處的切線相同

由題意知    ，∴

由得，，或（舍去）      7分

即有            8分

令，則，于是

當，即時，；

當，即時，                 11分

故在的最大值為，故的最大值為   13分

21、解:(1)∵且｜PF₁｜＋｜PF₂｜＝2a＞｜F₁F₂｜(a＞)

∴P的軌跡為以F₁、F₂為焦點的橢圓E，可設E：(其中b²＝a²－5)    2分

在△PF₁F₂中，由余弦定理得

又

∴當且僅當| PF₁ |＝| PF₂ |時，| PF₁ |?| PF₂ |取最大值，         4分

此時cos∠F₁PF₂取最小值

令＝_a2＝9，

_{∵c＝ ∴b2＝4故所求P的軌跡方程為}           6分

(2)設N(s，t)，M(x，y)，則由，可得(x，y－3)＝λ(s，t－3)

∴x＝λs，y＝3＋λ(t－3)           7分

而M、N在動點P的軌跡上，故且

消去S得解得        10分

又| t |≤2，∴，解得，故λ的取值范圍是[，5]      12分

22、解：（1）由，得，代入，得，

整理，得,從而有，，

是首項為1，公差為1的等差數列，即.          4分

（2），  ，

，

，

.                  8分

(3)∵

.

由（2）知，，

.     12分