Question

已知點A（x₁，y₁）在圓（x-2）²+y²=4上運動，點A不與（0，0）重合，點B（4，y₀）在直線x=4上運動，動點M（x，y）滿足

OM

∥

OB

，

OM

=

AB

．動點M的軌跡C的方程為F（x，y）=0．
（1）試用點M的坐標x，y表示y₀，x₁，y₁；
（2）求動點M的軌跡方程F（x，y）=0；
（3）以下給出曲線C的五個方面的性質，請你選擇其中的三個方面進行研究，并說明理由．（若你研究的方面多于三個，我們將只對試卷解答中的前三項予以評分）
①對稱性；
②頂點坐標（定義：曲線與其對稱軸的交點稱為該曲線的頂點）；
③圖形范圍；
④漸近線；
⑤對方程F（x，y）=0，當y≥0時，函數y=f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）先求出：

OM

=（x，y）.

OB

=（4，y₀）.

AB

=（4-x₁，y₀-y₁）．再由條件得∴

4y-xy0=0 x=4-x1 y=y0-y1

即可解出示y₀，x₁，y₁；
（2）把所求的點A的坐標代入圓（x-2）²+y²=4中，整理即可求出動點M的軌跡方程F（x，y）=0；
（3）①先將方程中的（x，y）換成（x，-y），方程形式不變，得關于X軸對稱；
②令y=0得x=0；得曲線的頂點坐標為（0，0）；
③把軌跡方程F（x，y）=0整理锝y2=

x3

4-x

，因為平方數大于等于0得0≤x＜4，y∈R，
④0≤x＜4，y2=

x3

4-x

，當x→4時，y→∞，可得直線x=4是曲線的漸近線．

解答：解：（1）由題得：

OM

=（x，y）.

OB

=（4，y₀）.

AB

=（4-x₁，y₀-y₁）．
∵

OM

∥

OB

，

OM

=

AB

．
∴

4y-xy0=0 x=4-x1 y=y0-y1

?

y0= 4y x x1=4-x y1=y0- y= 4y x -y

（2）∵點A（x₁，y₁）在圓（x-2）²+y²=4上運動，
∴（x₁-2）²+y₁²=4?(4-x-2)2+(

4y

x

-y)2=4．
即(x-2)2+(

4y

x

-y)2=4．
∴動點M的軌跡方程為(x-2)2+(

4y

x

-y)2=4．
整理得（x-4）（

x3+xy2-4y2

x2

）=0?x=4或x³+xy²-4y²=0．
因為當x=4時，A的坐標為（0，0），與題中條件相矛盾．
∴動點M的軌跡方程是：x³+xy²-4y²=0．
（3）①關于X軸對稱，
將方程中的（x，y）換成（x，-y），方程形式不變，故關于X軸對稱；
②頂點為（0，0），
在方程中，令y=0得x=0；故曲線的頂點坐標為（0，0）；
③圖象范圍是：0≤x＜4，y∈R．
∵y2=

x3

4-x

≥0得0≤x＜4，y∈R．
④直線x=4是曲線的漸近線，
∵0≤x＜4，y2=

x3

4-x

，當x→4時，y→∞，
故直線x=4是曲線的漸近線．

點評：本題主要考查向量在幾何中的應用以及軌跡方程的求法，本題的難點在于對軌跡方程的整理，屬于一道難題．