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已知雙曲線的右頂點為A（2，0），右焦點為F、O為坐標原點，點F，A到漸近線的距離之比為，過點B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點P，Q．
（I）求雙曲線的方程及k的取值范圍；
（II）是否存在常數k，使得向量垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.

             CABCA，BCDDC

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分 ，共25分，

11. 12； 12. ； 13. 8； 14. x－2y－z+3=0；  15. ②④.

三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.解：(Ⅰ) 由已知  ，   ∴    ，

又   ΔABC是銳角三角形，  ∴     ………………………………6分

(Ⅱ)

 　　　　　　　　　 ………………………………12分

17.解法一：（Ⅰ）∵，

且  ∴ ，   ……………………3分

∵ 

∴                  ……………………6分

（Ⅱ）取的中點，則，連結，

∵，∴，從而

作，交的延長線于，連結，則由三垂線定理知， AC⊥MH，

從而為二面角的平面角            …………………8分

直線與直線所成的角為，∴   …………………9分

在中，由余弦定理得

    在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小為       …………………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在平面內，過作，建立空間直角坐標系（如圖）

由題意有，設，

則 ………5分

由直線與直線所成的角為，得

，即，解得………7分

∴，設平面的一個法向量為，

則，取，得         ……………9分

又  平面的法向量取為                   ……………10分

設與所成的角為，則，

故二面角的平面角大小為            ……………12分

18.　解：(I)記“幸運觀眾獲得獎金5000元”為事件M，即前兩個問題選擇回答A、C且答對，最后在回答問題B時答錯了.

        故   幸運觀眾獲得獎金5000元的概率為        ………………6分

(II) 設幸運觀眾按A→B→C順序回答問題所得獎金數為隨機變量ξ，則ξ的取值可以為0元、1000元、3000元和7000元，其分布列為

0

1000

3000

7000

P

∴  元. ………………9分

設幸運觀眾按C→B→A順序回答問題所得獎金數為隨機變量η，則η的取值可以為0元、4000元、6000元和7000元，其分布列為

_η

0

4000

6000

7000

P

∴ 元. ……11分

故   乙觀眾的選擇所獲獎金期望較大.                   ………………12分

19.解：（1）∵     ……………………2分

由已知對恒成立，即對恒成立

又         ∴ 為所求        …………………………5分

     （2）取， ∵ ，  ∴ 

由已知在上是增函數，即，

也就是   即                …………8分

另一方面，設函數，則

∴   在上是增函數，又

∴   當時，

∴    ，即 

綜上所述，………………………………………………13分

20.解：(Ⅰ) 由題意可知，平面區域如圖陰影所示． …3分

設動點為，則

，即．

由 知，x－y<0，即x²－y²<0．

所以  y²－x²＝4(y>0)，即為曲線的方程　　…………6分

(Ⅱ)設，，則以線段為直徑的圓的圓心為.

因為以線段為直徑的圓與軸相切，所以半徑 ，

即                  ………………………8分

因為直線AB過點，當AB ^ x軸時，不合題意．

所以設直線AB的方程為    y＝k(x－2)．

代入雙曲線方程y²－x²＝4 (y＞0)得:      (k²－1)x²－4k²x＋(8k²－4)＝0．

因為直線l與雙曲線交于A，B兩點，所以k≠±1．于是

x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

∴   |AB|=

∴  

化簡得：k⁴＋2k²－1＝0                  ……………………………11分

解得: k²＝－1  （k²＝－－1不合題意，舍去）．

由△＝(4k²)²－4(k²－1)(8k²－4)＝3k²－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－ ．

所以直線l存在,其斜率為 k＝－.        …………………13分

21.　解：(1) 因為  ,所以,

于是: , 即是以2為公比的等比數列.

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