Question

已知雙曲線的右頂點為A（2，0），右焦點為F、O為坐標原點，點F，A到漸近線的距離之比為，過點B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點P，Q．
（I）求雙曲線的方程及k的取值范圍；
（II）是否存在常數k，使得向量垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由題意，a=2
根據三角形相似，可得點F，A到漸近線的距離之比為=，
∴c=，∴b==1
∴雙曲線的方程為
設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線方程，可得（4k²-1）x²+16kx+20=0
∵過點B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點P，Q
∴4k²-1≠0且△=256k²-80（4k²-1）＞0，即且
解得-＜k＜且k≠；
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=，
∵=（x₁+x₂，y₁+y₂），=（-2，2），與垂直
∴-2（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）=0
∴（x₁+x₂）（k-1）+4=0
∴+4=0
∴k=
∴存在常數k=，使得向量垂直．
分析：（I）由題意，a=2根據三角形相似，可得點F，A到漸近線的距離之比為=，從而可得雙曲線的方程；設出直線方程代入雙曲線方程，利用根的判別式，即可求k的取值范圍；
（II）用坐標表示向量，利用向量的數量積為0，建立方程，即可得到結論．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．