題目列表(包括答案和解析)
（本小題為選做題，滿分8分）
試求曲線
在矩陣MN變換下的函數解析式，其中M =
，N =
．
（本小題為選做題，滿分8分）
用數學歸納法證明不等式：
．
（本小題為選做題，滿分8分）
已知直線
的參數方程：
（
為參數）和圓
的極坐標方程：
．
（1）將直線的參數方程化為普通方程，圓的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）判斷直線和圓的位置關系．
（本小題滿分12分）
某單位組織50名志愿者利用周末和節假日參加社會公益活動，活動內容是：1、到各社區宣傳慰問，創導文明新風；2、到指定的社區、車站、碼頭做義工，幫助那些需要幫助的人。各位志愿者根據各自的實際情況，選擇了不同的活動項目，相關的數據如下表所示：
|
|
宣傳慰問 |
義工救助 |
總計 |
|
20至40歲 |
11 |
16 |
27 |
|
大于40歲 |
15 |
8 |
23 |
|
總計 |
26 |
24 |
50 |
(Ⅰ) 用分層抽樣方法在做義工的志愿者中隨機抽取6名，大于40歲的應該抽取幾名?
(Ⅱ) 在上述抽取的6名志愿者中任取2名，求恰有1名志愿者年齡大于40歲的概率．
(Ⅲ)如果“宣傳慰問”與“做義工”是兩個分類變量，并且計算出隨機變量
，那么你有多大的把握認為選擇做宣傳慰問與做義工是與年齡有關系的？
22．［必做題］（本小題滿分10分）
在十字路口的路邊，有人在促銷木糖醇口香糖，只聽喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元錢三瓶，有8種口味供你選擇（其中有一種為草莓口味）。小明一看，只見一大堆瓶裝口香糖堆在一起（假設各種口味的口香糖均超過3瓶，且每瓶價值均相同）．
（1）小明花10元錢買三瓶，請問小明共有多少種選擇的可能性？
（2）小明花10元錢買三瓶，售貨員隨便拿三瓶給小明，請列出有小明喜歡的草莓味口香糖瓶數
的分布列，并計算其數學期望．
A．必做題部分
一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）
1．
2．
3．共線 4．20 5．
6．
7．
8．2，5，10 9．16.4 10．1 11．7 12．
13．2 14．
二、解答題：
15．解：(1)
(2)
余弦定理
可得
又∵
∴
16．證明
(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內的射影，
∵CD
平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD
(2)取CD中點G，連EG、FG，
∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，FG∥PD
∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD
(3）解 當平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF⊥面PCD
證明 G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角 即∠EGF=45°，從而得∠ADP=45°，AD=AP
由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE
又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD
17．解：（1）依題意，
到
距離等于到直線
的距離，曲線
是以原點為頂點，為焦點的拋物線
曲線方程是
（2）設圓心
，因為圓
過
故設圓的方程
令
得：
設圓與
軸的兩交點為
，則
在拋物線上，
所以，當運動時，弦長
為定值2
18．解（1）設日銷售量為
則日利潤
（2）
①當2≤a≤4時，33≤a+31≤35，當35 <x<41時，
∴當x=35時，L（x）取最大值為
②當4＜a≤5時，35≤a+31≤36，
易知當x=a+31時，L（x）取最大值為
綜合上得
19．解(1)據題意: 
可行域如圖(暫缺)
的幾何意義是定點
到區域內的點
連線的斜率
,
又
故的取值范圍為
(2)當
有零點時,
,滿足條件為
由拋物線的下方與
圍成的區域面積
由直線
圍成的區域面積
故有零點的概率
無零點的概率為
(3)
是
函數.
證明： 
符合條件．
因為
，
同理：
；
．
所以， 符合條件．
20．（1）解：由已知：對于
，總有
①成立
∴
（n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵
均為正數，∴
（n ≥ 2）
∴數列
是公差為1的等差數列
又n=1時，
，
解得
=1
∴
.()
（2）證明：∵對任意實數
和任意正整數n，總有
≤
.……6分
∴
(3)解：由已知 
，
易得 
猜想 n≥2 時，
是遞減數列.
令
∵當
∴在
內
為單調遞減函數.
由
.
∴n≥2 時, 
是遞減數列.即是遞減數列.
又
, ∴數列中的最大項為
.
B．附加題部分
三、附加題部分：
21．（必做題）（本小題滿分12分）
解：（1）將
代入
得
，
由△
可知
，
另一方面，弦長AB
，解得
；
（2）當時，直線為
，要使得內接△ABC面積最大，
則只須使得
，
即
，即位于（4，4）點處．
22．（必做題）（本小題滿分12分）
解：（1）分別記甲、乙、丙三個同學筆試合格為事件
、
、
；
表示事件“恰有一人通過筆試”
則
（2）解法一：因為甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格的概率均為
，
所以
，故
．
解法二：分別記甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格為事件
，
則
所以
，
，
．
于是，
．
23．（選做題）（本小題滿分8分）
證明：（1）過D點作DG∥BC，并交AF于G點，
∵E是BD的中點，∴BE=DE，
又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，
∴△BEF≌△DEG，則BF=DG，
∴BF：FC=DG：FC，
又∵D是AC的中點，則DG：FC=1：2，
則BF：FC=1：2；
（2）若△BEF以BF為底，△BDC以BC為底，
則由（1）知BF：BC=1：3，
又由BE：BD=1：2可知
：
=1：2，其中、分別為△BEF和△BDC的高，
則
，則
=1：5．
24．（選做題）（本小題滿分8分）
解：（1）消去參數
，得直線
的普通方程為；-----------------------2分
即
，
兩邊同乘以
得
，
消去參數
，得⊙的直角坐標方程為：
（2）圓心到直線的距離
，
所以直線和⊙相交．
25．（選做題）（本小題滿分8分）
解：MN = 
=
，
即在矩陣MN變換下
，
則
，
即曲線
在矩陣MN變換下的函數解析式為
．
26．（選做題）（本小題滿分8分）
證明：（1）當
時，左邊＝
，時成立
（2）假設當
時成立，即
那么當
時，左邊
時也成立
根據（1）（2）可得不等式對所有的
都成立
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com