題目列表(包括答案和解析)
已知
(Ⅰ)若
求
的表達式；
（Ⅱ）若函數f (x)和函數g(x)的圖象關于原點對稱，求函數g(x)的解析式；
（Ⅲ）若
在
上是增函數，求實數l的取值范圍
（本小題滿分16分）通過研究學生的學習行為，心理學家發現，學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間：講授開始時，學生的興趣激增；中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態；隨后學生的注意力開始分散．分析結果和實驗表明，用f(x)表示學生掌握和接受概念的能力（f(x)的值越大，表示接受的能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：min），可有以下的公式：
（1）講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能持續多少分鐘？
（2）講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時學生的注意力更集中？
（3）一道數學難題，需要講解24分鐘，并且要求學生的注意力至少達到180，那么經過適當安排，老師能否在學生達到所需的狀態下講授完這道題目？
已知
,
設
.
(Ⅰ)求
的表達式；
(Ⅱ)若函數
和函數
的圖象關于原點對稱，
（�。┣蠛瘮�的解析式；
（ⅱ）若函數
在區間
上是增函數，求實數l的取值范圍.
已知
(Ⅰ)若
,求
的表達式；
（Ⅱ）若函數和函數
的圖象關于原點對稱，求函數的解析式；
（Ⅲ）若
在
上是增函數，求實數
的取值范圍.
已知
(Ⅰ)若
求
的表達式；
（Ⅱ）若函數f (x)和函數g(x)的圖象關于原點對稱，求函數g(x)的解析式；
（Ⅲ）若
在
上是增函數，求實數l的取值范圍.
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．
1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．
13．3；
14．-4； 15．1； 16．
．
三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．解：（Ⅰ）∵l1∥l2，
，
∴
，????????????????????????? 3分
∴
，
∴
．??????????????????????? 6分
（Ⅱ）∵
且
，
∴
，∴
，當且僅當
時取＂＝＂．??? 8分
∵
，∴
，???????????? 10分
∴
，當且僅當時取＂＝＂．
故△ABC面積取最大值為
．?????????????????????? 12分
18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三個球中數字最大者為3．
①三次取球均出現最大數字為3的概率
；??????????? 1分
②三次取球中有2次出現最大數字3的概率
；????? 3分
③三次取球中僅有1次出現最大數字3的概率
．????? 5分
∴P(ξ=3)=P1＋P2＋P3=
．??????????????????????? 6分
（Ⅱ）在ξ＝k時, 利用（Ⅰ）的原理可知：
（k=1、2、3、4）．?? 8分
則ξ的概率分布列為：
ξ
1
2
3
4
P
??????????????????????????????????? 10分
∴ξ的數學期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．????????? 12分
19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA
∵側面ABB
，知C到AA1的距離為，
，∴△AA
∴AA1⊥面BOC1，又BC1Ì面BOC1．∴AA1⊥BC1．??????????????? 4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC1、OB兩兩垂直，以O為原點，建立如圖空間直角坐標系，則
，
，
，
，
．則
，
，
，
．??????????????????????????? 5分
設
是平面ABC的一個法向量，
則
即
令
，則
．設A1到平面ABC的距離為d．
∴
．????????????????????? 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個法向量是，又平面ACC1的一個法向量
． 9分
∴
．????????????????? 11分
∴二面角B－AC－C1的余弦值是
．??????????????????? 12分
20．解：（Ⅰ）
，對稱軸方程為
，故函數
在[0,1]上為增函數，∴
．???????????????????????? 2分
當
時，
．?????????????????????????? 3分
∵
①
∴
②
②-①得
，即
，?????????????? 4分
則
，∴數列
是以
為首項，
為公比的等比數列．
∴
，∴
．?????????????? 6分
（Ⅱ）∵
，∴
．
∵
???????????????? 7分
可知：當
時，
；當
時，
；當
時，
．
即
????????????????????? 10分
可知存在正整數
或6，使得對于任意的正整數n，都有
成立．??? 12分
21．解：（Ⅰ）設
，
，
，
，
，
，
，
，
．∵
，
∴
，∴
，∴
．?????????????????? 2分
則N(c，0)，M(0，c)，所以
，
∴
，則
，
．
∴橢圓的方程為
．?????????????????????? 4分
（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則
，即
,????????? 5分
由
消去y得
．
∵直線l與橢圓交于兩個不同點，設
，
，
∴
，
，?????????????????? 7分
∴
，
由
，
，
．????? 8分
．??????????? 9分
（或
）．
設
，則
，
，
，
令
，則
，
∴
在時單調遞增，????????????????????? 11分
∴S關于μ在區間
單調遞增，
，
，
∴
．???????????????????????????? 12分
（或
，
∴S關于u在區間單調遞增，???????????????????? 11分
∵，，
．）???????????????? 12分
22．解：（Ⅰ）因為
，
，則
， 1分
當
時，
；當
時，
．
∴在
上單調遞增；在
上單調遞減，
∴函數在
處取得極大值．???????????????????? 2分
∵函數在區間
（其中
）上存在極值，
∴
解得
．??????????????????????? 3分
（Ⅱ）不等式
，即為
，???????????? 4分
記
，∴
，?? 5分
令
，則
，∵
，∴
，
在
上遞增，
∴
，從而
，故
在上也單調遞增，
∴
，
∴
．??????????????????????????????? 7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
恒成立，即
，??? 8分
令
則
，??????????????? 9分
∴
，
，
，
………
，??????????????????????? 10分
疊加得：
．???????????????????? 12分
則
，
∴
.???????????????????? 14
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