題目列表(包括答案和解析)
數列
的前
項和為
，且
。
(1)求數列的通項公式；
(2)設等差數列
各項均為正數，滿足
，且
，成等比數列。證明：
。
數列
的前
項和為
，且
是和
的等差中項，等差數列
滿足
，
.
（1）求數列、的通項公式；
（2）設
，數列
的前項和為
，證明：
.
數列
的前
項和為
，若
，點
在直線
上．
⑴求證：數列
是等差數列；
⑵若數列
滿足
，求數列的前項和
；
⑶設
，求證：
．
數列
的前
項和為
，且
是和
的等差中項，等差數列
滿足
，
.
（1）求數列、的通項公式；
（2）設
，數列
的前項和為
，證明：
.
數列
的前
項和為
，
．
（Ⅰ）設
，證明：數列
是等比數列；
（Ⅱ）求數列
的前項和
.
（Ⅲ）若
，
，求不超過
的最大的整數值．
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
A
B
C
D
C
B
D
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
11．
12．
13．
14．
15．2
說明：第14題答案可以有多種形式，如可答
或
Z）等, 均給滿分.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．(本小題滿分12分)
解：（1）∵
…… 2分
…… 4分
.
…… 6分
∴
.
…… 8分
(2) 當
時, 
取得最大值, 其值為2 .
……10分
此時
，即
Z
.
……12分
17. (本小題滿分12分)
解:(1) 由頻率分布條形圖知,抽取的學生總數為
人. ……4分
∵各班被抽取的學生人數成等差數列,設其公差為
,
由
=100,解得
.
∴各班被抽取的學生人數分別是22人，24人，26人，28人. ……8分
(2) 在抽取的學生中,任取一名學生, 則分數不小于90分的概率為0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.
……12分
18．(本小題滿分14分)
解：（1）∵ 
⊥平面
，
平面，
∴
⊥. …… 2分
∵
⊥
，
，
∴
⊥平面
，
…… 4分
∵
平面，
∴
⊥.
…… 6分
（2）法1: 取線段
的中點
，
的中點
，連結
,
則
是△
中位線.
∴∥
，
，
……8分
∵
，
，
∴
.
∴
四邊形
是平行四邊形，
……10分
∴ 
.
∵ 
平面
，
平面，
∴ ∥平面.
……12分
∴
線段的中點是符合題意要求的點．
……14分
法2: 取線段的中點，的中點，連結
,
則是△的中位線.
∴∥，
，
∵
平面, 
平面,
∴
平面.
…… 8分
∵
，，
∴
.
∴
四邊形
是平行四邊形，
∴ 
.
∵ 
平面，
平面，
∴ ∥平面
.
……10分
∵
,
∴平面
平面.
∵
平面
,
∴∥平面.
……12分
∴
線段的中點是符合題意要求的點．
……14分
19. (本小題滿分14分)
解:(1)依題意知,
…… 2分
∵
,
∴
.
…… 4分
∴所求橢圓
的方程為
.
…… 6分
（2）∵ 點
關于直線
的對稱點為
，
∴ 
…… 8分
解得：
，
.
…… 10分
∴
.
…… 12分
∵
點在橢圓:上,
∴
, 則
.
∴
的取值范圍為
.
……14分
20. (本小題滿分14分)
(1) 解：當
時，
.
……1分
當
時，
.
……3分
∵
不適合上式,
∴
……4分
（2）證明: ∵
.
當
時，
……6分
當時，
,
①
. ②
①－②得:
得
，
……8分
此式當時也適合.
∴
N
.
∵
，
∴
.
……10分
當時，
，
∴
.
……12分
∵
，
∴
.
故
，即
.
綜上，
．
……14分
21. (本小題滿分14分)
解：（1）當
時，
，
∴
.
令=0, 得 
. …… 2分
當
時,
, 則
在
上單調遞增;
當
時,
, 則在
上單調遞減;
當
時,, 在
上單調遞增.
…… 4分
∴ 當
時, 取得極大值為
;
當
時, 取得極小值為
. …… 6分
（2） ∵ = 
，
∴△= 
= 
.
① 若a≥1，則△≤0， …… 7分
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上單調遞增 .
∵f（0）
，
,
∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點． …… 9分
② 若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x1，x2，（x1<x2）．
∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．
當
變化時，
的取值情況如下表：
x
x1
（x1，x2）
x2
+
0
－
0
+
f（x）
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
…… 11分
∵
,
∴
.
∴
.
同理
.
∴
.
令f（x1）?f（x2）＞0, 解得a＞
．
而當
時,
,
故當時, 函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點. …… 13分
綜上所述，a的取值范圍是
．
…… 14分
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