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如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

（Ⅰ）證明：BD⊥PC；

（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】（Ⅰ）因為

又是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線，所以BD平面PAC，

而平面PAC，所以.

（Ⅱ）設(shè)AC和BD相交于點O，連接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，

所以是直線PD和平面PAC所成的角，從而.

由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因為四邊形ABCD為等腰梯形，，所以均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積

在等腰三角形ＡＯＤ中，

所以

故四棱錐的體積為.

【點評】本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明，考查空間角的應(yīng)用，及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可，第二問由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直線PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積

如圖，在四棱錐中，⊥底面，底面為正方形，，，分別是，的中點．

（I）求證：平面；

（II）求證：；

（III）設(shè)PD=AD=a, 求三棱錐B-EFC的體積.

【解析】第一問利用線面平行的判定定理，，得到

第二問中，利用，所以

又因為，，從而得

第三問中，借助于等體積法來求解三棱錐B-EFC的體積.

（Ⅰ）證明： 分別是的中點，    

，．       …4分

（Ⅱ）證明：四邊形為正方形，．

， ．

， ，

．，．    ………8分

（Ⅲ）解：連接AC,DB相交于O,連接OF, 則OF⊥面ABCD,

∴

已知中，，.設(shè)，記.

（1）   求的解析式及定義域；

（2）設(shè)，是否存在實數(shù)，使函數(shù)的值域為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【解析】第一問利用（1）如圖，在中，由，，

可得，

又AC=2，故由正弦定理得

（2）中

由可得.顯然，，則

1當(dāng)m>0的值域為m+1=3/2,n=1/2

2當(dāng)m<0，不滿足的值域為；

因而存在實數(shù)m=1/2的值域為.

如圖，在正四棱錐中，．

（1）求該正四棱錐的體積；

（2）設(shè)為側(cè)棱的中點，求異面直線與

所成角的大小．

【解析】第一問利用設(shè)為底面正方形中心，則為該正四棱錐的高由已知，可求得，

所以，

第二問設(shè)為中點，連結(jié)、，

可求得，，，

在中，由余弦定理，得

．

所以，