題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，
D、E分別為棱AB、BC的中點， M為棱AA1上的點，二面角M―DE―A為30°.
（1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求點C到平面MDE的距離。
(本小題滿分12分)某校高2010級數學培優學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。
（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?
(本小題滿分12分)
某廠有一面舊墻長14米,現在準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費用為a元；②修1米舊墻的費用為
元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費用為
元,經過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最省?(1)、(2)兩種方案哪個更好?
(本小題滿分12分)
已知a,b是正常數, a≠b, x，y
(0,＋∞).
(1)求證:
≥
,并指出等號成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
(2)利用(1)的結論求函數
的最小值,并指出取最小值時相應的x 的值.
(本小題滿分12分)
已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋
b，y=－ka＋
b (k
R).
(1)若t=1,且x∥y,求k的值；
(2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
A
C
B
D
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15是選做題,考生只能選做兩題. 第12題第一個空2分，第二個空3分．
9．
10．
11．
12．-1；4 13．
14．1 15. 
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數的基本關系等基礎知識，考查運算求解能力）
解: (1)∵
, 且
,
∴ 
.
由正弦定理得
.
∴
.
(2)∵
∴
.
∴ 
.
由余弦定理得
,
∴
.
17．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查概率、隨機變量的分布列及其數學期望等基礎知識，考查運算求解能力）
解：（1）記“甲射擊一次,擊中目標”為事件
，“乙射擊一次,擊中目標”為事件
，“甲射擊一次,
未擊中目標”為事件
，“乙射擊一次,未擊中目標”為事件
，
則
，
.
依題意得
，
解得
.
故
的值為
.
（2）
的取值分別為
.
，
，
，
的分布列為
0
2
4
18．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查空間中線面的位置關系、空間的角、幾何體體積等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）
(1)
證明: ∵
分別是棱
的中點，
∴
是△
的中位線.
∴
.
∵
平面
平面
∴
平面
.
同理可證 
平面.
∵
平面
,
平面,
∴平面// 平面
.
(2) 求三棱錐
的體積的最大值, 給出如下兩種解法:
解法1: 由已知
平面, 
,
∴
.
∴三棱錐的體積為
.
當且僅當
時等號成立，
取得最大值,其值為
, 此時
.
解法2：設
，在Rt△中，
.
∴三棱錐的體積為
.
∵
,
∴ 當
，即
時，取得最大值，其值為，此時
.
求二面角
的平面角的余弦值, 給出如下兩種解法:
解法1:作
,垂足為
, 連接
.
∵ 平面，平面
平面,
∴ 平面.
∵ 
平面,
∴ 
.
∵ 
,
∴ 
平面
.
∵
平面,
∴.
∴ 
是二面角的平面角.
在Rt△
中,
,
∴
.
在Rt△
中,
,
.
∴二面角的平面角的余弦值為
.
解法2:分別以
所在直線為
軸, 
軸, 
軸,建立如圖的空間直角坐標系
,
則
.
∴
.
設n
為平面
的法向量,
∴
即
令, 則
.
∴
為平面的一個法向量.
∵平面的一個法向量為
,
∴
.
∴二面角的平面角的余弦值為
.
19．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查函數最值、不等式、導數及其應用等基礎知識，考查分類與整合的數學思想方法，以及運算求解能力和應用意識）
解：（1）生產150件產品，需加工型零件450個，
則完成型零件加工所需時間
N
，且
.
（2）生產150件產品，需加工型零件150個，
則完成型零件加工所需時間
N，且.
設完成全部生產任務所需時間為
小時，則為與的較大者.
令
，即
，
解得
.
所以，當
時，
；當
時，
.
故
.
當時，
，故在
上單調遞減，
則在
上的最小值為
（小時）；
當時，
，故在
上單調遞增，
則在上的最小值為
（小時）；
，
在
上的最小值為
.
.
答：為了在最短時間內完成生產任務，應取
.
20．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查圓、橢圓、直線等基礎知識和數學探究，考查數形結合、分類與整合的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創新意識）
解：（1）圓
， 圓心
的坐標為
，半徑
.
∵
，
∴點
在圓內.
設動圓
的半徑為
，圓心為，依題意得
，且
，
即
.
∴圓心的軌跡是中心在原點，以
兩點為焦點，長軸長為
的橢圓,設其方程為
, 則
.
∴
.
∴所求動圓的圓心的軌跡方程為
.
(2)由
消去化簡整理得：
.
設
，
，則
.
△
. ①
由
消去化簡整理得：
.
設
，則
,
△
. ②
∵
，
∴
，即
，
∴
.
∴
或
.
解得
或
.
當時,由①、②得 
，
∵
Z,
∴
的值為
，
，
;
當，由①、②得 
，
∵
Z,
∴
.
∴滿足條件的直線共有9條．
21．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查數列的通項公式、數列前
項和、不等式等基礎知識，考查化歸與轉化、分類與整合、特殊與一般的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力）
解: (1) ∵
是關于的方程
N
的兩根,
∴
求數列
的通項公式, 給出如下四種解法:
解法1: 由
,得
,
故數列
是首項為
,公比為
的等比數列.
∴
, 即
.
解法2: 由,兩邊同除以
, 得
,
令
, 則
.
故
.
且
也適合上式,
∴
, 即.
解法3： 由，得
，
兩式相減得
.
當為正奇數時,
.
且
也適合上式.
當為正偶數時,
.
且
也適合上式.
∴
當
N時，
.
解法4：由，，得
，
.
猜想.
下面用數學歸納法證明猜想正確.
① 當
時,易知猜想成立;
② 假設當
N)時,猜想成立,即
,
由
,得
,
故當
時,猜想也成立.
由①、②得，對任意N，.
∴
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