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【老題重現】
求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和等于一腰上的高．
已知：△ABC中，AB=AC，點P是BC邊上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD是AB邊上的高線．
求證：PE+PF=CD
證明：連接AP，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC
∴

AB×PE

2

+

AC×PF

2

=

AB×CD

2

∵AB=AC
∴PE+PF=CD

【變式應用】
請利用“類比”和“化歸”兩種方法解答下面問題：
求證：等邊三角形內上任意一點到三邊的距離和等于一邊上的高．
已知：點P是等邊△ABC內任意一點，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC邊上的高線．
求證：PD+PE+PF=AH
證明：
方法（一）類比：通過類比上題的思路和方法，模仿上題的“面積法”解決本題．
連接AP，BP，CP
方法（二）化歸：如圖，通過MN在等邊△ABC中構造符合“老題”規律的等邊△AMN，化“新題”為“老題”，直接利用“老題重現”的結論解決問題．
過點P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N，交AH于G．

【提煉運用】
已知：點P是等邊△ABC內任意一點，設到三邊的距離分別為a、b、c，且使得以a、b、c為邊能夠構成三角形．
請在圖中畫出滿足條件的點P一切可能的位置，并對這些位置加以說明．

如圖：有一張形狀為梯形的紙片ABCD，上底AD長為4 cm，下底BC長為8 cm，高為8cm，點M是腰AB上的一個動點，過點M作MN∥BC，交DC于點N，設MN=xcm．
（1）若梯形AMND的高為h₁，梯形MBCN的高為h₂．則

h1

h2

=；（用含x的式子表示）
（2）將梯形AMND沿MN折疊，點A落在平面MBCN內的點記為E，點D落在平面MBCN內的點記為F，梯形EFNM與梯形BCNM的重疊面積為S，
①求S與x的關系式，并寫出x的取值范圍；
②當x為何值時，重疊部分的面積S最大，最大值是多少？

如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，且x₁＜x₂，與y軸交于點C（0，-4），其中x₁，x₂是方程x²-4x-12=0的兩個根．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是線段AB上的一個動點，過點M作MN∥BC，交AC于點N，連接CM，當△CMN的面積最大時，求點M的坐標；
（3）點D（4，k）在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖，平面直角坐標系中有一矩形ABCO（O為原點），點A、C分別在x軸、y軸上，且C點坐標為（0，6）；將BCD沿BD折疊（D點在OC邊上），使C點落在OA邊的E點上，并將BAE沿BE折疊，恰好使點A落在BD的點F上．
（1）直接寫出∠ABE、∠CBD的度數，并求折痕BD所在直線的函數解析式；
（2）過F點作FG⊥x軸，垂足為G，FG的中點為H，若拋物線y=ax²+bx+c經過B、H、D三點，求拋物線的函數解析式；
（3）若點P是矩形內部的點，且點P在（2）中的拋物線上運動（不含B、D點），過點P作PN⊥BC分別交BC和BD于點N、M，設h=PM-MN，試求出h與P點橫坐標x的函數解析式，并畫出該函數的簡圖，分別寫出使PM＜NM、PM=MN、PM＞MN成立的x的取值范圍．