Question

如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，且x₁＜x₂，與y軸交于點C（0，-4），其中x₁，x₂是方程x²-4x-12=0的兩個根．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是線段AB上的一個動點，過點M作MN∥BC，交AC于點N，連接CM，當△CMN的面積最大時，求點M的坐標；
（3）點D（4，k）在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程解法得出A，B兩點的坐標，再利用交點式求出二次函數解析式；
（2）首先判定△MNA∽△BCA．得出

NH

CO

=

AM

AB

，進而得出函數的最值；
（3）分別根據當AF為平行四邊形的邊時，AF平行且等于DE與當AF為平行四邊形的對角線時，分析得出符合要求的答案．

解答：解：（1）∵x²-4x-12=0，
∴x₁=-2，x₂=6．
∴A（-2，0），B（6，0），
又∵拋物線過點A、B、C，故設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6），
將點C的坐標代入，求得a=

1

3

，
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x2-

4

3

x-4；

（2）設點M的坐標為（m，0），過點N作NH⊥x軸于點H（如圖（1））．
∵點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（6，0），
∴AB=8，AM=m+2，
∵MN∥BC，∴△MNA∽△BCA．
∴

NH

CO

=

AM

AB

，
∴

NH

4

=

m+2

8

，
∴NH=

m+2

2

，
∴S△CMN=S△ACM-S△AMN=

1

2

•AM•CO-

1

2

AM•NH，
=

1

2

(m+2)(4-

m+2

2

)=-

1

4

m2+m+3，
=-

1

4

(m-2)2+4．
∴當m=2時，S_△CMN有最大值4．
此時，點M的坐標為（2，0）；

（3）∵點D（4，k）在拋物線y=

1

3

x2-

4

3

x-4上，
∴當x=4時，k=-4，
∴點D的坐標是（4，-4）．
①如圖（2），當AF為平行四邊形的邊時，AF平行且等于DE，
∵D（4，-4），∴DE=4．
∴F₁（-6，0），F₂（2，0），
②如圖（3），當AF為平行四邊形的對角線時，設F（n，0），
∵點A的坐標為（-2，0），
則平行四邊形的對稱中心的橫坐標為：

n+(-2)

2

，
∴平行四邊形的對稱中心坐標為（

n-2

2

，0），
∵D（4，-4），
∴E'的橫坐標為：

n-2

2

-4+

n-2

2

=n-6，
E'的縱坐標為：4，
∴E'的坐標為（n-6，4）．
把E'（n-6，4）代入y=

1

3

x2-

4

3

x-4，得n²-16n+36=0．
解得n=8±2

7

．F3(8-2

7

，0)，F4(8+2

7

，0)，
綜上所述F₁（-6，0），F₂（2，0），F₃（8-2

7

，0），F₄（8+2

7

，0）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型，特別注意利用數形結合是這部分考查的重點，也是難點，同學們應重點掌握．