Question

如圖，拋物線與y軸交于點A（0，4），與x軸交于B、C兩點．其中OB、OC是方程的x²-10x+16=0兩根，且OB＜OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線AC上是否存在點D，使△BCD為直角三角形．若存在，求所有D點坐標；反之說理；
（3）點P為x軸上方的拋物線上的一個動點（A點除外），連PA、PC，若設△PAC的面積為S，P點橫坐標為t，則S在何范圍內時，相應的點P有且只有1個．

Answer 1

分析：（1）先求出B、C兩點坐標，再將A、B、C三點坐標代入即可求得拋物線的解析式；
（2）根據待定系數法求出直線AC的解析式，再分兩種情況討論即可求解；
（3）分別求出P在拋物線AC上面積的最大值，求出P在拋物線AB上面積的最大值，依此即可求出S的取值范圍．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0，
得x₁=2，x₂=8，
則B（-2，0），C（8，0），
設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C三點坐標代入拋物線得，

c=4 4a-2b+c=0 64a+8b+c=0

，
解得

a=- 1 4 b=1 1 2 c=4

故拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x+4；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，將A、C兩點坐標代入得，

b=4 8k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=4

故直線AC的解析式為y=-

1

2

x+4；
直線AC上存在點D，使△BCD為直角三角形：
①∠DBC=90°時，x=-2，y=-

1

2

×（-2）+4=5，則D點坐標為（-2，5）；
②∠BDC=90°時，設直線BD的解析式為y=2x+b₁，則2×（-2）+b₁=0，解得b₁=4，故直線AC的解析式為y=2x+4；
聯立兩條直線的解析式

y=- 1 2 x+4 y=2x+4

，解得

x=0 y=4

，則D點坐標為（0，4）；
綜上所述D點坐標為（-2，5）或（0，4）；

（3）P在拋物線AC上面積的最大值為16，P在拋物線AB上面積的最大值為20，
則S的取值范圍為16＜S＜20．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有待定系數法求一次函數和拋物線的解析式等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合和分類討論等數學思想的運用，同學們要加強訓練．