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(理)如圖a所示，某地為了開發旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ(0°＜θ＜90°)，且sinθ=，點P到平面α的距離PH=0．4(km)．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用．從點O到山腳修路的造價為a萬元／km，原有公路改建費用為萬元／km．當山坡上公路長度為l km(1≤l≤2)時，其造價為(l²+1)a萬元已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1．5(km)，OA=(km)．

(1)在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最小；

(2)對于(1)中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小；

(3)在AB上是否存在兩個不同的點D′，E′，使沿折線．PD′E′O修建公路的總造價小于(2)中得到的最小總造價?證明你的結論．

a)

第19題圖

(文)如圖b所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC為等邊三角形，且AA₁=AD=DC=2．

(1)求AC₁與BC所成角的余弦值；

(2)求二面角C₁-BD-C的大小；

(3)設M是BD上的點，當DM為何值時，D₁M⊥平面A₁C₁D?并證明你的結論．

第19題圖

同學4人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中任取一張賀卡；求下列條件的概率：

（1） 每人拿到的1張賀卡都是自己寫的概率；

（2） 有且只有1個人拿到的賀卡是自己寫的概率

【解析】本試題主要考查了古典概型的運用。解決該試題的關鍵是理解一次試驗的所有基本事件數，然后結合事件A發生的事件數，利用比值可以得到概率值。

 

同學們會面對一個共同的問題，就是有時有太多的事情要做．例如，你可能面臨好幾門課的作業的最后期限，你如何合理安排以確保每門課的作業都能如期完成？如果根本不可能全部按期完成，你怎么辦？

　　這里給出的霍奇森(Hodgson)算法，可以使得遲交作業的數目減到最小．這一算法已經廣泛應用于工業生產安排的實踐中．

假設你知道各項作業的到期日，并且知道或能估計出完成每項作業將花費的時間，下面是這個算法的自然語言表述：

　　第一步　把這些作業按到期日的順序從左到右排列，從最早到期的到最晚到期的；

　　第二步　假設從左到右一項一項做這些作業的話，計算出從開始到完成某一項作業時所花的時間．依次做此計算直到完成了所列表中的全部作業而沒有一項作業會超期，停止；或你算出某項作業將會超期，繼續第三步；

　　第三步　考慮第一項將會超期的作業以及它左邊的所有作業，從中取出花費時間最長的那項作業，并把它從表中去掉；

　　第四步　回到第二步，并重復第二到四步，直到做完．

　　根據上表，按霍奇森算法，寫出程序框圖和程序．