Question

(理)如圖a所示，某地為了開發旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ(0°＜θ＜90°)，且sinθ=，點P到平面α的距離PH=0．4(km)．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用．從點O到山腳修路的造價為a萬元／km，原有公路改建費用為萬元／km．當山坡上公路長度為l km(1≤l≤2)時，其造價為(l²+1)a萬元已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1．5(km)，OA=(km)．

(1)在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最小；

(2)對于(1)中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小；

(3)在AB上是否存在兩個不同的點D′，E′，使沿折線．PD′E′O修建公路的總造價小于(2)中得到的最小總造價?證明你的結論．

a)

第19題圖

(文)如圖b所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC為等邊三角形，且AA₁=AD=DC=2．

(1)求AC₁與BC所成角的余弦值；

(2)求二面角C₁-BD-C的大小；

(3)設M是BD上的點，當DM為何值時，D₁M⊥平面A₁C₁D?并證明你的結論．

第19題圖

Answer 1

答案：(理)(1)如圖a所示，PH⊥α，HBα，PB⊥AB，由三垂線定理逆定理知，AB⊥HB，所以∠PBH是山坡與α所成二面角的平面角，則∠PBH=θ，PB==1．

設BD=x(km)，0≤x≤1.5．

則PD=∈[1，2]．

記總造價為f₁(x)萬元，據題設有

f₁(x)=(PD²+1+AD+AO)a

=(x²)a

=(x)²a+()a

當x=，即BD=(km)時，總造價f₁(x)最小．

(2)設AE=y(km)，0≤y≤，總造價為f₂(y)萬元，則

f₂(y)=[PD²+1+]a

=()a+a.

第19題圖

則f′₂(y)=()a，由f′₂(y)=0，得y=1．

當y∈(0，1)時，f′₂(y)＜0，f₂(y)在(0，1)內是減函數；

當y∈(1，)時，f′₂(y)＞0，f₂(y)在(1，)內是增函數．

故當y=1，即AE=1(km)時，總造價f2(y)最小，且最小總造價為萬元．

(3)解法一：不存在這樣的點D′，E′．

事實上，在AB上任取不同的兩點D′，E′．為使總造價最小，E顯然不能位于D′與B之間．故可設E′位于D′與A之間，

且BD′=x₁(km)，AE′=y₁(km)，0≤x_l+y₂≤，

總造價為S萬元，

則S=()a.

類似于(1)、(2)討論知，≥，≥，

當且僅當x₁=，y₁=1同時成立時，上述兩個不等式等號同時成立，此時BD′=(km)，AE=1(km)，S取得最小值a，點D′，E′分別與點D，E重合，所以不存在這樣的點D′，E′，使沿折線PD′E′O修建公路的總造價小于(2)中得到的最小總造價．

解法二：同解法一得

S=()a

=(x₁)²a+[3(-y₁)+(+y₁)]·a+a

≥×.

當且僅當x₁=且3(-y₁)=(+y₁)，

即x₁=，y₁=1同時成立時，S取得最小值而a，以下同解法一．

(文)(1)∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，

∴C₁C∥B₁B，且C₁C=B₁B，

∴四邊形C₁CBB₁是平行四邊形，

∴C₁B₁∥CB，

即∠AC₁B₁(或其補角)是AC₁與BC所成的角．

連接AB₁，在△AB₁C₁中，AC₁=AB₁=，C₁B₁=，

∴cos∠AC₁B₁==.

故AC₁與BC所成角的余弦值為．

(2)設AC∩BD=0，則BO⊥AC，連接C₁O，如圖b所示．

∵CC₁⊥平面ABCD，

∴OC為C₁O在平面ABCD內的射影，

∴C₁O⊥BD，

則∠C₁OC為二面角C₁-BD-C的平面角．

在Rt△C₁CO中，OC=，C₁C=2，

tan∠C₁OC=，

故二面角C₁-BD-C的大小為aretan.

(3)在BD上取點M，使得OM=OD，連接AM，CM

∵AD=DC，∠ADC=90°

又DO⊥AC，且AO=OC，

∴CM=AM=AD．

∴四邊形AMCD是一個正方形．

可證D₁M⊥A₁D，D₁M⊥A₁C₁，又A₁D∩A₁C₁=A₁，

∴D₁M⊥平面A₁C₁D，此時DM=．

故當DM=時，有D₁M⊥平面A₁C₁D．

第19題圖(續).