題目列表(包括答案和解析)
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（18分）已知數(shù)列
和
的通項(xiàng)公式分別為
，
（
），將集合
中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列
。
⑴ 求
；
⑵ 求證：在數(shù)列
中、但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為
；
⑶ 求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
（18分）已知數(shù)列
和
的通項(xiàng)公式分別為
，
（
），將集合
中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列
。
⑴求三個(gè)最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列中的項(xiàng)，又是數(shù)列中的項(xiàng)；
⑵
中有多少項(xiàng)不是數(shù)列中的項(xiàng)？說(shuō)明理由；
⑶求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
（）。
（18分）已知數(shù)列
和
的通項(xiàng)公式分別為
，
（
），將集合
中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列
。
⑴ 求
；
⑵ 求證：在數(shù)列
中、但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為
；
⑶ 求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
和
的通項(xiàng)公式分別為
，
（
），將集合
中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列
。中的項(xiàng)，又是數(shù)列中的項(xiàng)；
中有多少項(xiàng)不是數(shù)列中的項(xiàng)？說(shuō)明理由；
的前
項(xiàng)和
（）。一、
1．B 2．A 3．D 4．A 5．C 6．A 7．D 8．B 9．D 10．A
11．A 12．B
1．由題意知
，解得
．
2．由
得
，化得
，解得
．
3．
，又
．
4．設(shè)
到
的角為
的斜率
的斜率
，
則
，于是
．
5．由條件，解
即
得
，則
．
6．不等式組化得 
平面區(qū)域如圖所示，陰影部分面積：
．
7．由已知得
，而
，則
是以3為公比的等比數(shù)列．
8．
即
，于是
，而
解得
．
9．函數(shù)可化為
，令
，
可得其對(duì)稱(chēng)中心為
，當(dāng)
時(shí)得對(duì)稱(chēng)中心為
．
10．
．
11．由條件得：
，則
得
所以
．
12．沿球面距離運(yùn)動(dòng)路程最短，最短路程可以選
．
二、填空題
13．
，由
與
垂直得
．即
，解得
14．99
在等差數(shù)列
中，
也是等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)定理得
．
所以
．
15．
由題意知，直線(xiàn)
是拋物線(xiàn)
的準(zhǔn)線(xiàn)，而
到的距離等于到焦點(diǎn)
的距離．即求點(diǎn)到點(diǎn)
的距離與到點(diǎn)
的距離和的最小值，就是點(diǎn)與點(diǎn)的距離，為．
16．②
一方面．由條件，
，得
，故②正確．
另一方面，如圖，在正方體
中，把
、
分別記作、
，平面
、平面
、平面
分別記作
、
、
，就可以否定①與③．
三、解答題
17．解：
，且
，即
又
．
由余弦定理，
，故
．
18．解：（1）只有甲解出的概率：
．
（2）只有1人解出的概率：
．
19．解：（1）由已知
，∴數(shù)列
的公比
，首項(xiàng)
又?jǐn)?shù)列
中，
∴數(shù)列的公差
，首項(xiàng)
∴數(shù)列、
的通項(xiàng)公式依次為
．
（2）
，
．
20．（1）證明；在直三棱柱
中，
面
又
面
，而
面
，
∴平面
平面
（2）解：取
中點(diǎn)
，連接
交
于點(diǎn)，則
．
與平面所成角大小等于與平面所成角的大小．
取
中點(diǎn)
，連接
、
，則等腰三角形
中，
．
又由（1）得
面
．
面
為直線(xiàn)與面所成的角
又
，
∴直線(xiàn)與平面所成角的正切值為
．
（注：本題也可以能過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系解答）
21．解：（1）設(shè)橢圓方程為
，雙曲線(xiàn)方程為
，半焦距
由已知得
，解得
，則
故橢圓及雙曲線(xiàn)方程分別為
及
．
（2）向量
與
的夾解即是
，設(shè)
，則
由余弦定理得
①
由橢圓定義得
②
由雙曲線(xiàn)定義得
③
式②+式③得
，式②
式③得
將它們代入式①得
，解得
，所以向量與夾角的余弦值為
．
22．解（1）由
得
在
處有極值
①
又
在
處的切線(xiàn)的傾斜角為
②
由式①、式②解得
設(shè)的方程為
∵原點(diǎn)
到直線(xiàn)的距離為
，
解得
．
又不過(guò)第四象限，
．
所以切線(xiàn)的方程為
．
切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），則
，
解得
．
（2）
在
上遞增，在
上遞減
而
在區(qū)間
上的最大值是3，最小值是
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