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（2012•鹽城一模）[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，D為AO上一點，BD的延長線交⊙O于點E，過E點的圓的切線交CA的延長線于P．
求證：PD²=PA•PC．

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若數列{a_n}，{b_n}中，a₁=a，b₁=b，

an=-2an-1+4bn-1 bn=-5an-1+7bn-1

，（n∈N，n≥2）．請按照要求完成下列各題，并將答案填在答題紙的指定位置上．
（1）可考慮利用算法來求a_m，b_m的值，其中m為給定的數據（m≥2，m∈N）．右圖算法中，虛線框中所缺的流程，可以為下面A、B、C、D中的

ACD

ACD

（請填出全部答案）
A、B、
C、D、

（2）我們可證明當a≠b，5a≠4b時，{a_n-b_n}及{5a_n-4b_n}均為等比數列，請按答紙題要求，完成一個問題證明，并填空．
證明：{a_n-b_n}是等比數列，過程如下：a_n-b_n=（-2a_n-1+4b_n-1）+（5a_n-1-7b_n-1）=3a_n-1-3b_n-1=3（a_n-1-b_n-1）
所以{a_n-b_n}是以a₁-b₁=a-b≠0為首項，以

3

3

為公比的等比數列；
同理{5a_n-4b_n}是以5a₁-4b₁=5a-4b≠0為首項，以

2

2

為公比的等比數列
（3）若將a_n，b_n寫成列向量形式，則存在矩陣A，使

an bn

=A

an-1 bn-1

=A(A

an-2 bn-2

)=A2

an-2 bn-2

=…=An-1

a1 b1

，請回答下面問題：
①寫出矩陣A=

-2 4 -5 7

-2 4 -5 7

；  ②若矩陣B_n=A+A²+A³+…+Aⁿ，矩陣C_n=PB_nQ，其中矩陣C_n只有一個元素，且該元素為B_n中所有元素的和，請寫出滿足要求的一組P，Q：

P=

1   1

，Q=

1 1

P=

1   1

，Q=

1 1

； ③矩陣C_n中的唯一元素是

2ⁿ⁺²-4

2ⁿ⁺²-4

．
計算過程如下：

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[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圓上一點使得BC=5，求線段AB的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
求曲線C：xy=1在矩陣

2 2 - 2 2 2 2 2 2

對應的變換作用下得到的曲線C′的方程．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
已知曲線C₁：

x=3cosθ y=2sinθ

（θ為參數）和曲線C₂：ρsin（θ-

π

4

）=

2

．
（1）將兩曲線方程分別化成普通方程；
（2）求兩曲線的交點坐標．
D．（選修4-5：不等式選講）
已知|x-a|＜

c

4

，|y-b|＜

c

6

，求證：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對應的一個特征向量α1=

1 1

，特征值λ₂=-1及其對應的一個特征向量α2=

1 -1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系（兩種坐標系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標為（-2，6），點B的極坐標為(4，

π

2

)，直線l過點A且傾斜角為

π

4

，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c，d都是正數，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圓上一點使得BC=5，求線段AB的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
求曲線C：xy=1在矩陣對應的變換作用下得到的曲線C′的方程．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
已知曲線C₁：（θ為參數）和曲線C₂：ρsin（θ-）=．
（1）將兩曲線方程分別化成普通方程；
（2）求兩曲線的交點坐標．
D．（選修4-5：不等式選講）
已知|x-a|＜，|y-b|＜，求證：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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一、

1．C       2．A      3．D      4．C       5．A      6．B       7．A      8．C       9．D      10．C

11．D     12．B

1～5略

6．或．

7．解：

       ．

其展開式中含的項是：，系數等于．

8．解：根據題意：．

9．解：，橢圓離心率為，，．

10．解：依腰意作出圖形．取中點，連接、，則，不妨設四面體棱長為2，則是等腰三角形，必是銳角，就是與所成的角，．

11．解：已知兩腰所在直線斜率為1，，設底邊所在直線斜率為，已知底角相等，由到角公式得：

       ，解得或．

       由于等腰三角底邊過點（，0）則只能取．

12．解：如圖，正四面體中，是

中心，連，此四面體內切球與外接球具有共同球心．必在上，并且等于內切球半徑，等于外接球半徑．記面積為，則

，從而．

二、

13．．解：，與共線．

14．．解：，曲線在（1，0）處的切線與直線垂直，則，的傾角是．

15．曲線      ①，化作標準形式為，表示橢圓，由于對稱性．取焦點，過且傾角是135°的弦所在直線方程為：，即②，聯立式①與式②．消去y，得：，由弦長公式得：．

16．充要條件①：底面是正三角形，頂點在底面的射影恰是底面的中心．

充要條件②：底面是正三角形．且三條側棱長相等，

充要條件③：底面是正三角形，且三個側面與底面所成角相等．

再如：底面是正三角形．且三條側棱與底面所成角相等；三條側棱長相等，且三個側面與底面所成角相等；三個側面與底面所成角相等，三個側面兩兩所成二面角相等．

三、

17．解：，則，，．由正弦定理得

       ，

       ．

18．（1）證：已知是正三棱柱，取中點，中點，連，，則、、兩兩垂直，以、、為、、軸建立空間直角坐標系，又已知，

則．

，，則，又因與相交，故面．

（2）解：由（1）知，是面的一個法向量．

，設是面的一個法向量，則①，②，取，聯立式①、②解得，則．

              二面角是銳二面角，記其大小為．則

              ，

二面角的大小，亦可用傳統方法解（略）．

19．解：已知各投保學生是否出險相互獨立，且每個投保學生在一年內出險的概率都是，記投保的5000個學生中出險的人數為，則（5000，0．004）即服從二項分布．

（1）記“保險公司在學平險險種中一年內支付賠償金至少5000元”為事件A，則

              ，

              ．

（2）該保險公司學平險除種總收入為元=25萬元，支出成本8萬元，支付賠償金5000元=0．5萬元，盈利萬元．

由~知，，

進而萬元．

故該保險公司在學平險險種上盈利的期望是7萬元．

20．解（1）：由得，即，

              ，而

由表可知，在及上分別是增函數，在及上分別是減函數．

．   

（2）時，等價于，記，

則，因，

則在上是減函數，，故．

當時，就是，顯然成立，綜上可得的取值范圍是：

22．解：（1）由條件可知橢圓的方程是：

                ①，直線的方程是            ②，

聯立式①、②消去并整理得，由此出發時，是等比數列，

．

（2）由（1）可知，．當時，

       ，

       是遞減數列

       對恒成立．

       ，時，是遞減數列．

21．解（1）：，由解得函數定義域呈．

              ，由解得，列表如下：

0

0

ㄊ

極大

ㄋ

ㄋ

極小

ㄊ

              解得，進而求得中點．

              己知在直線上，則．

       （2）．

設，則，點到直線的距離

．

，由于直線與線段相交于，則，則．

記，則．

其次，，同理求得到的中離：，

設，即，由得．

，

即且時，．

又，當即時，．注意到，由對稱性，時仍有

故，進而．

故四邊形的面積：

，

當時，．