題目列表(包括答案和解析)
（本題滿分14分）
已知實數
，曲線
與直線
的交點為
(異于原點
)，在曲線
上取一點
，過點
作
平行于
軸，交直線
于點
，過點作
平行于
軸，交曲線于點
，接著過點
作
平行于軸，交直線于點
，過點作
平行于軸，交曲線于點
，如此下去，可以得到點
，
，…,
,… . 設點的坐標為
，
.
（Ⅰ）試用
表示
，并證明
；
（Ⅱ）試證明
，且
（
）；
時，求證：
（）.（本題滿分14分）
已知函數
圖象上一點
處的切線方程為
．
(Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若方程
在
內有兩個不等實根，求
的取值范圍（其中
為自然對數的底數）；
（Ⅲ）令
，若
的圖象與
軸交于
，
(其中
)，
的中點為
，求證：在
處的導數
．
（本題滿分14分）
已知曲線
方程為
，過原點O作曲線的切線
（1）求的方程；
（2）求曲線，及
軸圍成的圖形面積S；
與
的大小，并說明理由。（本題滿分14分）
已知中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓，左焦點
，一個頂點坐標為（0,1）
（1）求橢圓方程；
（2）直線
過橢圓的右焦點
交橢圓于A、B兩點，當△AOB面積最大時，求直線方程。
（本題滿分14分）
如圖，在直三棱柱
中，
,
,求二面角
的大小。 
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
A
A
A
B
B
A
D
二、填空題
11. 8 + ； 12. 60； 13.
； 14. 14； 15. 
.
三、解答題
16. 解：（1）依題意的
,所以
,于是
……………2分
由
解得
……………4分
把
代入
,可得
,所以
,
所以
,因為
,所以
綜上所述，
…………7分
（2）令
，得
，又
故
函數
的零點是
……………10分
由
得
函數的單調遞增區間是
……………13分
17. 解：（1）當
為
中點時,有
平面
………2分
證明:連結
交
于
,連結
∵四邊形
是矩形 ∴為中點
又為中點,從而
……………………………4分
∵
平面,
平面∴平面……………6分
（2）建立空間直角坐標系
如圖所示,則
,
,
,
,
……7分
所以
,
. ……………………………8分
設
為平面的法向量,則有
,即
令
,可得平面的一個法向量為
,
而平面
的一個法向量為
……………11分
所以
所以二面角
的余弦值為
……………13分
18. 解:
19．解：
（1）依題意雙曲線方程可化為
則
=4
點P的軌跡是以
為焦點的橢圓，其方程可設為
由
得
則所求橢圓方程為
，
故動點P的軌跡E的方程為；………………3分
（2）設
,
則由
，可知
在
中
又
即
當且僅當
時等號成立．故
的最小值為
………………6分
（3）當
與
軸重合時，構不成角AMB，不合題意．
當
軸時，直線的方程為
，代入
解得
、
的坐標分別為
、
而
，∴
，猜測為定值．………8分
證明：設直線的方程為
，由
，得
∴
，
………10分
∴
∴ 為定值。(AB與點M不重合) ……13分
20．解：
（1）當
時,由
得
；當
時由
得
綜上：當時函數的定義域為
；
當時函數的定義域為
………3分
（2）
………5分
令
時，得
即
，
①當
時，
時
，當
時，
，
故當 時，函數的遞增區間為
，遞減區間為
②當
時，
，所以，
故當時，在
上單調遞增．
③當
時，若
，;若
，，
故當時，的單調遞增區間為
;單調遞減區間為
．
綜上：當時，的單調遞增區間為;單調遞減區間為
當時，的單調遞增區間為
;
當時，的單調遞增區間為;單調遞減區間為; …10分
（Ⅲ）因為當時，函數的遞增區間為;單調遞減區間為
若存在使得
成立，只須
，
即
………14分
21．（本題滿分14分，共3小題，任選其中2題作答，每小題7分）
(1)選修4－2：矩陣與變換
解：由 M=
N=
可得
的特征多項式為
令
得矩陣的特征值為
再分別求得對應于特征值
的特征向量
…………7分
(2) 選修4－5：不等式選講
（1）解：依題意可知
，
則函數
的圖像如圖所示：
（2）由函數的圖像容易求得原不等式的解集為
…………7分
(3) 選修4－4：坐標系與參數方程
解：由
即
則易得
由
易得
圓心
到直線的距離為
又圓的半徑為2 , 圓上的點到直線的距離的最小值為
…………7分
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