題目列表(包括答案和解析)
請閱讀下列材料：若兩個正實數
滿足
，那么
。證明：構造函數
，因為對一切實數x，恒有
，所以
，從而得
，所以。根據上述證明方法，若n個正實數滿足
時，你能得到的結論為
。
在本次數學期中考試試卷中共有10道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有一個是正確的。評分標準規定：“每題只選一項，答對得5分，不答或答錯得0分”.某考生每道題都給出一個答案, 且已確定有7道題的答案是正確的，而其余題中，有1道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生：
（1）選擇題得滿分(50分)的概率；
（2）選擇題所得分數
的數學期望。
【解析】第一問總利用獨立事件的概率乘法公式得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為
，有1道題答對的概率為
，還有1道答對的概率為
，
所以得分為50分的概率為： 
第二問中，依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝
得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，
所以概率為
得分為40分的概率為：
同理求得，得分為45分的概率為：
得分為50分的概率為：
得到分布列和期望值。
解：（1）得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為，有1道題答對的概率為，還有1道答對的概率為，
所以得分為50分的概率為： …………5分
（2）依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝ …………6分
得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，
所以概率為 …………7分
得分為40分的概率為： …………8分
同理求得，得分為45分的概率為：
…………9分
得分為50分的概率為：
…………10分
所以得分的分布列為
|
|
35 |
40 |
45 |
50 |
|
|
|
|
|
|
數學期望
命題“若
，
，
，則
．”可以如下證明：構造函數
，則
，因為對一切
，恒有
，所以
，故得．
試解決下列問題：
（1）若，，
，
，求證
；
（2）試將上述命題推廣到n個實數，并證明你的結論．
請閱讀下列材料：若兩個正實數
滿足
，那么
．證明：構造函數
，因為對一切實數
，恒有
，所以
，從而得
，所以．根據上述證明方法，若
個正實數滿足
時，你能得到的結論為 .（不必證明）
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