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已知f(x)=

x

1-x

，設f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f_n-1（x）]（n＞1，n∈N^*），則f₃（x）的表達式為，猜想f_n（x）（n∈N^*）的表達式為．

已知.

（1）求的極值，并證明：若有；

（2）設，且，，證明：，

若，由上述結論猜想一個一般性結論（不需要證明）；

（3）證明：若，則.

 

已知

（1）求的極值，

并證明：若有；

（2）設，且，，

證明：，

若，由上述結論猜想一個一般性結論（不需要證明）；

（3）證明：若，則

 

已知函數，數列的項滿足： ，（1）試求

（2） 猜想數列的通項，并利用數學歸納法證明.

【解析】第一問中，利用遞推關系,

,   

第二問中，由（1）猜想得：然后再用數學歸納法分為兩步驟證明即可。

解: (1) ,

,    …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（數學歸納法證明）i) ,  ,命題成立

ii) 假設時，成立

則時，

                              

綜合i),ii) : 成立

 

已知，（其中）

⑴求及；

⑵試比較與的大小，并說明理由．

【解析】第一問中取，則；                         …………1分

對等式兩邊求導，得

取，則得到結論

第二問中，要比較與的大小，即比較：與的大小，歸納猜想可得結論當時，；

當時，；

當時，；

猜想：當時，運用數學歸納法證明即可。

解：⑴取，則；                         …………1分

對等式兩邊求導，得，

取，則。       …………4分

⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，

當時，；

當時，；

當時，；                              …………6分

猜想：當時，，下面用數學歸納法證明：

由上述過程可知，時結論成立，

假設當時結論成立，即，

當時,

而

∴

即時結論也成立，

∴當時，成立。                          …………11分

綜上得，當時，；

當時，；

當時，