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在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為1，E，F分別為棱BB₁和DD₁的中點．
（1）求證：平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）求四面體A₁-FEA的體積．
（3）若G是C₁D₁上靠近C₁的四等分點，動點H在底面ABCD內，且AH=

1

2

，請說明點H的軌跡，并探求GH長度的最小值．

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在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為1，E，F分別為棱BB₁和DD₁的中點．
（1）求證：平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）求四面體A₁-FEA的體積．
（3）若G是C₁D₁上靠近C₁的四等分點，動點H在底面ABCD內，且AH=

1

2

，請說明點H的軌跡，并探求GH長度的最小值．

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如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E是正方形BCC₁B₁的中心，點F，G分別是棱C₁D₁，AA₁的中點．設點E₁，G₁分別是點E，G在平面DCC₁D₁內的正投影．
（1）求以E為頂點，以四邊形FGAE在平面DCC₁D₁內的正投影為底面邊界的棱錐的體積；
（2）證明：直線FG₁⊥平面FEE₁；
（3）求異面直線E₁G₁與EA所成角的正弦值．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

理C

文B

C

理D

文B

C

A

B

D

C

理A

文C

B

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13．                        14．11                     15．（理）（文）16．②④

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

    驟。

17．本小題滿分10分

       解：（1）由余弦定理及已知條件得，                                  1分

       ∵                          3分

       ∴                                               5分

   （2）由正弦定理及已知條件得，b=2a                                                               7分

       聯立方程組                                   9分

       ∴△ABC的周長為                                          10分

18．本小題滿分12分

       解：（1）記“該參賽者恰好連對一條線”為事件A。

       則                                                            （理）4分（文）6分

   （2）（理科）的所有可能取值為-4、0、4、12                                              5分

                                                                                           9分

       的分布列為

-4

0

4

12

3/8

1/3

1/4

1/24

       E=                                                       12分

   （文科）該參賽者所有可能得分為-4、0、4、12.                                               7分

       得0分的概率為                                                                    8分

       得4分的概率為                                                                     9分

       得12分的概率為                                                                     10分

       ∴該參賽者得分為非負數的概率為          12分

19．本小題滿分12分

       解：（1）取AB的中點G，連接CG，FG，

       則FG∥BE，且FG=BE，

       ∴FG∥CD，且FG=CD，2分

       ∴四邊形FGCD是平行四邊形，

       ∴DF∥CG，

       又∵CF平面ABC，

       ∴DF∥平面ABC,     6分

   （2）解法一：設A到平面BDF的距離為h，

       由                                                         8分

       在△BDF中，

       且CB=2,∴                                                                                            10分

       設AB于平面BDF所成的角為，則

       故AB與平面BDF所成的角為                                                           12分

       解法二：以點B為原點，BA、BC、BE所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角

       坐標系，則

       B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1）E（0，0，2），

       F（1，0，1）。……………………………………………………………………………       8分

       ∴ =（0，2，1），=（1，-2，0）……………………………………………       8分

       設平面BDF的一個法向量為n=（2，a，b），

       ∵ n⊥，n⊥，∴

即解得

       ∴ n=（2，1，-2）……………………………10分

       又設AB與平面BDF所成的角為，則法線n與所成的角為，

       ∴cos()===,

       即sin,故AB與平面BDF所成的角為arcsin.…………………………… 12分

20．本小題滿分12分

       解：（1）∵-=0,因為（）（）=0，

       ∵數列的各項均為正數，∴>0，∴=0，

       即所以數列是以2為公比的等比數列…………………………………3分

       ∴是的等差中項，∴，∴

       ∴數列的通項公式………………………………………………  6分

   （2）由（1）及log得，，…………………………………   8分

       ∵…

       ∴-…-                                ①

       ∴-…-                          ②

       ②-①得，+…+

       =………………………  （理）10分（文）12分

       要使>50成立，只需 >50成立，即>52，n

       ∴使>50成立的正整數n的最小值為5。………………………（理）12分

21．本小題滿分12分

       解：（1）由得（）………………1分

       當時直線與雙曲線無交點，這和直線與雙曲線恒有公共點矛盾，

       ∴≠2，e≠…………………………………………………………………………2分

       當≠2時，=恒成立，

       即恒成立，

       ∵>0，∴，∴，……………………………………3分

       ∵

       ∵（）=2，∴ ∴

       綜上知………………………………………………………………………6分

   （Ⅱ）設F（c,0）,則l:y=x-c,將x=y+c代入雙曲線方程，得

       整理得…………………………………………7分

       設兩交點為P（），Q，則

       ∵=∴……………………………………………………………8分

       ∴消去得

       ………………………………………………………………10分

       ∴>0且∴∴

       ∴所求雙曲線C的方程為………………………………………………12分

22．本小題滿分12分

   （理科）解：（1）……………………………………………2分

       ∵x=0時，取極值0，∴………………………………………………3分

       解得a=1,b=0.經檢驗a=1,b=0符合題意。………………………………………………4分

   （2）由a=1,b=0知由

       得

       令則在上恰有兩個不同的實數

       根等價于在上恰有兩個不同實數根。

    當時，<0，于是在（0，1）上單調遞減；

       當時，>0，于是在（1，2）上單調遞增。……………………7分

       依題意有<0，∴…………………8分

   （3）的定義域為>，

       由（1）知

當單調遞減。

       當x＞0時，＞0，單調遞增。

       ∴f（0）為在（-1，+∞）上的最小值，∴≥f（0）

       又f（0）=0，故（當且僅當x=0，等號成立）                     10分

       對任意正整數n，取

       故

       =                                                                              12分

   （文科）解：（1）∵       1分

       依題意有                                       3分

       解得                                                                                                  4分

       ∴                                                                             5分

   （2）∵，依題意x₁、x₂是方程=0的兩個根，

       由∴                               7分

       設

       由                                                  9分

       即函數在區間（0，4）上是增函數，在區間（4，6）上是減函數

       當時，有極大值為96，∴在（0，6）上的最大值是96          10分

       ∴b的最大值為4                 12分